Олимпиадные задачи по математике для 7 класса

Математика, 7 класс, школьный этап

Время выполнения – 4 часа

Каждая задача оценивается в 7 баллов.

1. Кондрат положил на стол 8 карточек, образовав арифметическое выражение:

Дарья поменяла местами карточку со знаком «+» и следующую карточку с цифрой 1. Оказалось, что значение суммы не изменилось. Найдите, чему равняются цифры, обозначенные звёздочками.

1. По кругу выстроились лжецы и рыцари. И те и другие есть. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый заявил, что один из его соседей – лжец, а другой – рыцарь. Может ли в кругу стоять ровно 2014 островитян?

1. Докажите, что любой клетчатый прямоугольник, стороны которого больше 1, можно разрезать на квадраты 2×2 и прямоугольники 1×3.

1. На вечеринке собралось 16 человек. Фотограф сделал несколько фотографий так, что каждая пара человек появилась вместе ровно на одной фотографии. На каждой фотографии сфотографированы либо трое, либо двое из присутствующих. Докажите, что всего сделано не менее 46 фотографий.

1. На одной из больших диагоналей шахматной доски 8×8 выставлены 8 ладей. Какое наименьшее число ферзей достаточно выставить на доску так, чтобы они побили все свободные поля? Поле, на котором стоит ферзь, считается побитым. Сквозь ладьи ферзь бить не может.