Определение  температурных напряжений и деформаций в пластинках методом прямых.

ТЎҒРИ УСУЛДА ПЛАСТИНКАЛАРДА ҲОСИЛ БЎЛАДИГАН ХАРОРАТ КУЧЛАНИШЛАРИ ВА ДЕФОРМАЦИЯЛАРИНИ АНИҚЛАШ

Иномжон Ҳамзаевич Ҳамзаев

техника фанлари номзоди, доцент

Фарғона политехника институти,

Ўзбекистон Республикаси, Фарғона ш.

Элмурод Сотволдиевич Умаров

катта ўқитувчи

Фарғона политехника институти,

Ўзбекистон Республикаси, Фарғона ш.

АННОТАЦИЯ: Кўрилаётган ишда маълум бўлган бир ўзгарувчили четки айирмалар усулини – бир ўзгарувчили тўғри усулни қўллаб чегаравий шартлари қистириб махкамланган, шарнирли тиралган ёки умуман эркин бўлган пластинкалардаги ҳарорат кучланишлари ва деформацияларини аниқлаш келтирилган.

Калит сўзлар: Температура, четки айирмалар усули, плита, пластинка, чегаравий шарт, кўчиш, деформация, кучланиш: нормал, уринма, зўриқиш, момент, ҳосила: ҳусусий, тўғри, дифференциал, характеристик тенглама.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В ПЛАСТИНКАХ МЕТОДОМ ПРЯМЫХ.

Иномжон Хамзаевич Хамзаев

канд. техн. наук, доцент,

Ферганского политехнического института,

Республики Узбекистан, г.Фергана

Элмурод Сотволдиевич Умаров

старший преподаватель

Ферганского политехнического института,

Республики Узбекистан, г.Фергана

АННОТАЦИЯ: В работе рассматривается применение известного метода конечных разностей по одглй переменной – метода прямых – для определения температуных напряжений и деформаций в пластинках с заделанным, опертым или совешенно свободным контуром.

Ключевые слова: Температура, м етод конечных разностей, плита, пластинка, граничные условия, перемещения, деформация, напряжения: нормальное, касательное, усилия, момент, производние: частное, прямое, дифференциаль, характеристическое уравнение.

DETERMINATION OF TEMPERATURE STRESS AND DEFORMATION IN PLATES BY THE DIRECT METHOD

Inomjon Hamzaev Khamzaevich

Candidate of technical sciences, Associate Professor

Ferghana Polytechnic Institute,

The Republic of Uzbekistan, Ferghana

E-mail: [email protected]

Elmurod Umarov Sotvoldievich

Senior Lecturer at Ferghana Polytechnic Institute,

The Republic of Uzbekistan, Ferghana

E-mail: [email protected]

ANNOTATION: This work considers the application of the well-known method of finite differences in one variable – the method of straight lines – to determine the temperature stresses and deformations in plates with a sealed, supported or completely free contour.

Key words: Temperature, finite difference method, plate, platten, boundary conditions, displacements, deformation, stresses: normal, tangential, stresses, moment, derivative: private, direct, differential, characteristic equation.

Кўрилаётган ишда маълум бўлган усул, бир ўзгарувчили четки айирмалар усулини – бир ўзгарувчили тўғри усулни қўллаб чегаравий шартлари қистириб махкамланган, шарнирли тиралган ёки умуман эркин бўлган ҳолдаги пластинкаларда ҳосил бўладиган ҳарорат кучланишлари ва деформацияларини аниқлашга тадбиқ қиламиз.

Платинкалар қалинлиги – h бўйича, умумий ҳолда, температура чизиқсиз қонун билан тарқалаётган ҳолда бўлган , нестационар масалани кўрамиз.

Пластинкалар баландлиги бўйича стационар чизиқли қонун билан тарқалган температура таъсиридаги масала Б.Г.Галеркин тамонидан ечилган бўлиб, у кўрилаётган масалани хусусий ҳоли бўлиши мумкин.

Қуйилагидек белгилашларни қабул қиламиз:

h – плита баландлиги;

E – бўйлама эластиклик модули;

G – силжишдаги эластиклик модули;

μ – Пуассон коэффициенти ёки кўндаланг деформация коэффициенти;

α – материалнинг чизиқли температура кенгайиш (узайиш) коэффициенти;

– плитани цилиндирик бикрлиги;

u ,v, w – плита ўрта текислигидаги нуқталарининг кўчишлари.

Асосий боғланишлар:

Пластинка элементи учун мувозанат шартига асосан қуйидаги тенгламаларни ҳосил қиламиз:

(1)

Бир ўзгарувчили ҳарорат майдонини кўрамиз

Т=Т(z;t)

Қуйидаги Кирхгофф гипотезаларини тадбиқ эътамиз:

1. Пластинка ўрта текислигини деформацияланмаслиги σ_z = 0

2. Пластинка кўндаланг кесими деформацигача ва ундан кейин ҳам текис ва пластинка ўрта текислигига нормаллигича қолади. (Бернулли гипотезаси), пластинка қалинлигига нисбатан пластинка ўрта текислигида жойлашган нуқталарни кўчиши, яъни салқилиги жуда кичик.

У ҳолда пластинка ўрта текислигида жойлашган нуқталар учун кўчишлар билан кучланишлар орасида боғланишлар қуйидагига тенг бўлади.

(2)

(2) дан фойдаланиб қуйидаги кучланишлар билан деформациялар орасидагибоғланишларни келтириб чиқарамиз.

(3)

Зўриқишлар ва моментлар қуйидагига тенг:

(4)

Бу ерда:

(5)

Кесувчи ( кўндаланг) кучлар:

(6)

бу ерда: - Лаплас оператори

(1) ва (4) ларга асосан учта u, v ва w кўчиш номалумлари аниқлаш учун, қуйидаги учта (7) тенгламаларни ҳосил қиламиз.

(7)

(7) тенгламаларини ечиш учун четки айирмалар усули (тўғри усул) ни тадбиқ этамиз.

Бу усул четки айирмалар усули (ЧАУ) бир ўзгарувчи учун (7) ни ечими Л.В.Канторович томонидан ишлаб чиқилган, яъни Лаплас ва Пуссон тенгламаларини ечими.

Кейинчалик бу усул В.А.Фадеев, Л.П.Винокуров ва М.Г.Слободянскийлар томонидан охирги 20 аср ўрталарида эса П.М.Варваклар томонидан такомиллаштирилган [1,2].

1-шакл

Текисликда декарт координаталар системасида (x,o,y) пластинкани қуйидаги (1-шакл) чизмада кўрсатилган шакилдагидек чизиқлар билан полосаларга ажратамиз, OX ва OY ўқларга паралел равишда. Сўнгра ҳар бир чизиқ учун бир ўзгарувчи учун четки айирмалар усулида тенгламалар тузамиз (1-шакл).

Шундай қилиб, (7) хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар оддий чизиқли дифференциял тенгламалар билан қуйилаги алмаштирилади (1-шакл).

(7) – тенглама ҳар бир “к” – чизиқ учун ёзилади (8):

Масалан: бу ерда: ;

(8)

Кучланишлар эса қуйидагича:

(9)

Зўриқишлар ва моментлар

Чегаравий шартлар қуйидагича:

1). oy – ўқига паралел эркин томон учун:

(11)

2). oy – ўқига паралел эркин шарнирли тиралган томон учун:

(12)

3). oy – ўқига паралел қистириб махкамланган томон учун:

2-шакл

Четлари эркин тиралган тўғри бурчакли платинка.

Бундай ҳол учун (7) тенгламани биринчисини ечими соддалашади.

Кўпбурчкли эркин тиралган пластинкани ҳар бир чизиқли томони учун:

га эгамиз (7) тенгламани қуйидаги шаклда ёзамиз:

(14)

Қуйидаги янги белгиланишни киритамиз

(15)

(14) ни қуйидаги кўринишга келтирамиз

(16)

(17)

Контурдаги чегаравий шартлардан

ёки (18)

Агар эркин тиралган томон учун чет йўналиши бўйича эгриликни нолга тенг десак

(19)

(17) ни ҳисобга олиб қуйидагини ҳосил қиламиз

(20)

Худди шундай бошқа томонлар учун ҳам ҳосил қилиш мумкин. Шундай қилиб, (16) тенглама айнан қаноатлантирилади.

(М_x; М_y ва T_S – лар x ва y -ларга боғлиқ эмас) у ҳолда (17) тенглама қуйидагини беради.

(21)

(21) дифференциал тенглама, буралиш масаласидаги дифференциал тенгламага айнан ўхшашдир.

Агар бизга буралиш функцияси маълум бўлса турли масалаларни ечишимиз мумкин.

Бу масалани четки айирмалар усули (тўғри усулни) қўллаб ечамиз.

Қуйидаги плстинкани тўртта полосага ажратамиз (3-шакл).

3-шакл

2 та oy ўқига паралел чегаравий шартларни ҳисобга олган ҳолда “О” ва “1” бўйлама йўналиши бўйича ҳосил бўлган салқиликларни аниқлаш учун қуйидаги тенгламаларга эга бўламиз.

(22)

Иккичи тартибли (22) дифференциал тенгламалар системасини битта тўртинчи тартибли дифференциал тенгламага келтириш мумкин.

(23)

(23) – ни характеристик тенгламаси

(24)

(24) - характеристик тенглама илдизлари

(25)

Симетрикликка асосан салқиликлар функцияси жуфт бўлади, яъни

(26)

Ихтиёрий ўзгармаслар чегаравий шартлардан фойдаланиб аниқлаймиз.

да; (27)

Тенгламани ечимини қуйидагича ёзамиз:

(28)

1. Квадрат пластинка. Платинка марказидаги салқилик

(29)

2. Тўғри бурчакли пластинка, томонлариорасидаги муносабат в=2а пластинка марказидаги салқилик

(30)

u ва v -ларга нисбатан (8) – тенгламани ечими бўлганида, қуйидагича аниқлаймиз:

(33)

бунда (32)

(7) дифференциал тенгламани u ва v -учун (32) аниқ ечимидир. (9) формулага асосан кучланишларни аниқлаш мумкин.

Ҳусусий ҳолда, Температура майдони

(33)

бу ерда Т₀ – платинка юқори ва остки қисмларидаги температуралар фарқидир.

У ҳолда:

(34)

Пластинка марказидаги кучланишни аниқлаймиз:

ҳолат учун:

(35)

У, аниқ натижаларга мос келди.

4-шакл

а=в. Пластинка марказидаги кучланиш қуйидагига тенг:

аниқ ечим эса (36)

тўртала қирраси

4. Қистириб махкамланган тўғри бурчакли пластинка.

Пластинкани иккита полосога ажратамиз. У ҳолда “х” ўзгарувчи бўйича (8) дан четки айималар усулида қуйидагига эга бўламиз.

(37)

(38)

да (39)

(38) ва (39) шартларни ҳисобга олган ҳолда қуйидаги ўзгармас коэффициентли дифференциал тенгламани ҳосил қиламиз

(40)

(40) - характеристик тенгламаси:

(41)

(41) характеристик тенглама ечими

(42)

oy ўқига нисбатан пластинка эгилган текислиги симметрик бўлгани учун (40) дифференциал тенгламани ечими жуфт функция бўлиши керак, яъни:

(43)

C₁ ва С₂ – интеграл доимийларини чегаравий шартлардан, бошка иккита қирралар чегаравий шартларидан аниқлаймиз.

дан (44)

w₀ – қийматини (44) чегаравий шартга қўйиб иккита бир жинсли C₁ ва С₂ га нисбатан чизиқли алгебраик тенгламаларни ҳосил қиламиз.

Маълумки бир жинсли тенгламалар системаси тривал ечимга эга эмас, аммо (44) тенгламани аниқловчиси 0 га тенг эмас

C₁=С₂=0 (45)

У ҳолда w₀=0 (46)

Томонлар қистириб махкамлигидан

u=v=0 (47)

Эгувчи моментлар:

(48)

Кучланишлар:

(49)

Нормал зўриқишлар:

(50)

- ҳолдаги ҳарорат майдони таъсиридан қистириб махкамланган пластинка текислигига қолади.

Хусусий ҳоллар:

Б.Г.Галеркин кўрсатганки қуйидаги ҳарорат майдонида

(51)

Ҳар қандай шаклдаги пластинкалар (қистириб махкамланган) периметри бўйича текислигича қолади:

(52)

Пластинкани юқори ва пастки текислигидаги кучланишлар да

(53)

Нормал зўриқишлар:

(54)

Б.Г.Галеркин томонидан ечилган контур бўйича қистириб махкамланган, қалинлиги бўйича стационар чизиқли тақсимланган температура ҳусусий ҳолидан келтириб чиқариш мумкин.

5. Четлари эркин ҳолдаги тўғри бурчакли пластинка.

Пластинкани 4-шаклдагидек иккита полосага бўламиз.

Симметриклигини ҳисобга олган ҳолда қуйидаги чегаравий шартларни ҳосил қиламиз:

(55)

Ечими:

(56)

Қолган икки томонини чегаравий шартидан фойдаланиб интеграл доимийларини аниқлаймиз.

да;

(57)

(55) ни тенгламани охирги ечимини қуйидаги кўринишда келтирамиз

(58)

Кўчишлар

(59)

Кучланишлар:

(60)

- (ифода) формула С.П.Тимашенко томонидан бошқача усулда келтириб чиқарилган.

Адабиётлар

1. Б.Г.Галеркин. Температурные напряжения в упругих пластинках. Упругие тонкие плиты. Госстройиздат 1993 г

2. А.Д.Коволенко. Основы темоупругости Наукова думка. Киев. 1970–стр.-307

3. В.М.Майзель. температурная задача теории упругости А.Н.Киев. 1951 г.

4. С.П.Тимошенко, Дж.Гудьер. Теория упругости. М.Наука. 1975 г. стр.-576.

5. С.П.Тимошенко, С.Войновский – Кричер. Пластинки и оболочки. М.Физматчиз. 1963 г.

6. П.М.Варвак, Л.П.Варвак. Метод сеток в задачах рсачета строительных конструкций. М.Стройиздат. 1977 г. -154с.

7. I.H.Hamzayev, E.S.Umarov. “Materiallar qarshiligi”, “Classic” nashiryoti – 2021, 360 bet.

8. И.Х.Хамзаев. Расчет слоистой плиты на упругом основании плиты жесткой дорожной одежды на температурное воздействие. ФерПИ. Научно – техникические журнал. 2009 г. №1. с. 41-47.