Открытый урок по геометрии Теорема Пифагора

Геометрия есть познание всего сущего Платон

Теорема Пифагора

Боги дали людям

две благодати -говорить правду

и делать добро.

Пифагор

Цели и задачи:

• Рассмотреть одно доказательство теоремы Пифагора.
• Научить решать задачи с применением теоремы.
• Развивать у учащихся интерес к математической деятельности , интуицию и творческие способности.
• Совершенствовать математическую культуру и мировоззрение посредством изучения материала, связанного с историей возникновения и развития основных геометрических понятий и идей.

Пифагор Самосский (ок. 570-500 до н.э.)-древнегреческий математик и философ.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов .

• Нарисуем произвольный квадрат со стороной x

x

Продолжим каждую сторону квадрата на некоторую длину а . Будем считать, что x+a=b

a

b

x

• Соединим концы полученных отрезков
• Эти отрезки назовём с

a

c

b

x

a

a

c

b

x

a

a

c

b

S = c 2

x

a

• А теперь сложим площади маленьких фигур внутри большого квадрата

S 1 = ab/2

S 2 = ab/2

c

S 5 = x 2

S = c 2

x

S 3 = ab/2

S 4 = ab/2

S = ab/2 + ab/2 + ab/2 + ab/2 + x 2 = c 2

S 1 = ab/2

S 2 = ab/2

S = c 2

S 3 = ab/2

S 4 = ab/2

S 5 = x 2

S = ab/2 + ab/2 + ab/2 + ab/2 + x 2 = c 2

S = 4 ab/2 + x 2 = c 2

Не забыли?

b = a + x

2ab + (b-a) 2 = c 2

2ab + b 2 - 2 ab+a 2 = c 2

b 2 + a 2 = c 2

Что и требовалось доказать !

Пифагоровы треугольники.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон треугольников выражаются целыми числами называются пифагоровыми треугольниками.

Примеры: 3, 4, 5 . 5 2 =3 2 + 4 2

5, 12, 13;

8, 15, 17

7, 24, 25

Треугольник со сторонами 3, 4, 5

называют египетским треугольником .

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных

на его катетах.

5

4

3

• Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.

В

17

А

С

16

• Имеется квадрат АВС D . Известна длина его диагонали АС. Чему равна длина его стороны?

а

В

С

а

а

D

А

а

В

С

• В прямоугольнике АВС D диагональ АС имеет длину 10 см.,

а сторона С D – 6 см. Найдите периметр прямоугольника АВС D .

10 c м

6 см

D

А

• Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = а ² ,

где а – сторона треугольника.

В

а

а

С

А

а

Задача из «Математики в девяти книгах»

• Имеется водоем со стороной в 1 чжан (10 чи). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Числовые соотношения — источник гармонии космоса.

Зачем нужна теорема Пифагора. Представьте себе, что вы исследуете космическое пространство, и намерены отправить в космос, к ближайшей звезде, корабль-исследователь. До ближайшей звезды и обратно радиосигнал идет несколько лет, а лететь корабль будет десятки, если не сотни лет. Очевидно, управлять дистанционно таким кораблем невозможно, а это значит, что корабль должен работать автоматически, ориентируясь в пространстве самостоятельно. Так вот, теорема Пифагора описывает свойства пространства, в котором мы и наш робот живем. Положение клешней (захватов) робота, под управлением исполнительных механизмов, которыми управляет компьютера, так же описывает эта теорема. Да и Вам, лично, если уж дочитали до этого места, должно быть интересно, как устроен мир, в котором Вы имели счастье родиться. Здесь Вам непременно поможет Пифагор и его теорема.

1. № 485, № 488

2. Изучить одно из

доказательств теоремы Пифагора

Доказательство Евклида.

Чертеж к доказательству Евклида

Иллюстрация к доказательству Евклида

Вот некоторые извлечения из книги, содержащей 325 Пифагорейских заповедей:

Сыщи себе верного друга, имея его, ты можешь обойтись без богов.

Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.

Юные девицы! Памятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.

Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.

Не пекись о снискании великого знания: из всех знаний нравственная наука, быть может, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.