Подготовка к ЕГЭ: "Методы решения планиметрических задач"

Тема 1. Методы решения планиметрических задач

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ

1. Треугольники

По соотношению сторон треугольники разделяются на разносторонние и равнобедренные (в том числе и равносторонние).

По величине наибольшего угла треугольники разделяются на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Признаки равенства треугольников:

1. По двум сторонам и углу между ними:

2. По стороне и двум прилежащим к ней углам:

3. По трем сторонам:

Признаки подобия треугольников:

1. , если .

2. , если .

3. , если .

Средняя линия - отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Медиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса - отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.

Биссектриса угла треугольника делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Высота - отрезок, выходящий из вершины треугольника и перпендикулярный противоположной стороне.

Срединный перпендикуляр - прямая, проведенная через середину стороны треугольника, перпендикулярная к этой стороне.

Четыре замечательные точки треугольника:

1. Точка пересечения медиан (медианы пересекаются в одной точке).

2. Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности (биссектрисы пересекаются в одной точке).

3. Точка пересечения высот (высоты пересекаются в одной точке).

4. Точка пересечения срединных перпендикуляров - центр описанной окружности (срединные перпендикуляры пересекаются в одной точке).

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов равна .

2. Четырехугольники

Четырехугольники могут быть выпуклыми и невыпуклыми.

Выпуклые четырехугольники по наличию параллельных сторон делятся на параллелограммы (2 пары параллельных сторон), трапеции (1 пара параллельных сторон) и общего вида (нет параллельных сторон).

К частным видам параллелограммов относятся прямоугольники (4 угла прямые), ромбы (4 стороны равны), квадраты (обладают свойствами как прямоугольников, так и ромбов).

Свойства параллелограммов:

- В любом параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали в точке пересечения делятся пополам.

- В прямоугольнике диагонали равны.

- В ромбе диагонали перпендикулярны.

Признаки параллелограмма:

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

К частным видам трапеций относятся равнобедренные (боковые стороны равны) и прямоугольные (одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям).

Свойства трапеций:

- Средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) параллельна основаниям трапеции, а длина ее равна полусумме длин оснований.

- В равнобедренной трапеции диагонали равны, углы при одном и том же основании равны.

3. Окружность и круг

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Окружность является замкнутой плоской линией.

Круг - часть плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда - отрезок, соединяющий две произвольные точки окружности.

Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности.

Центральный угол - угол между двумя радиусами, его величина совпадает с градусной мерой дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол - угол между двумя хордами, с вершиной на окружности; измеряется половиной градусной меры дуги, на которую он опирается.

Если проведены две хорды AB и CD окружности, пересекающиеся в точке Р, то выполняется равенство .

Если две хорды окружности параллельны, то градусные меры дуг, заключенных между ними, равны.

Касательная к окружности - прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Угол между касательной и хордой, проведенными через точку окружности, измеряется половиной градусной меры дуги, заключенной между касательной и хордой.

Теорема Птолемея для вписанных четырехугольников: Произведение длин диагоналей вписанного четырехугольника ABCD равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:

AC ВD = AB CD + BС АD.

Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противолежащих углов равны .

Если четырехугольник ABCD описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Произвольный треугольник ( - стороны; , , - ротиволежащие им углы; - полупериметр; - радиус описанной окружности; - радиус вписанной окружности; - площадь; - высота, проведенная к стороне :

(теорема косинусов);

(теорема синусов).

2. Прямоугольный треугольник ( - катеты; - гипотенуза; - проекции катетов на гипотенузу; - высота, проведенная к гипотенузе):

(теорема Пифагора);

3. Равносторонний треугольник:

4. Произвольный выпуклый четырехугольник ( и - диагонали; - угол между ними; - площадь):

5. Параллелограмм (и - смежные стороны; - угол между ними; - высота, проведенная к стороне ; - площадь):

6. Ромб: .

7. Прямоугольник: .

8. Квадрат ( - диагональ): .

9. Трапеция ( и - основания; - расстояние между ними; - средняя линия; - площадь):

10. Описанный многоугольник ( - полупериметр; - радиус вписанной окружности; - площадь): .

11. Правильный многоугольник ( - сторона правильного -угольника; - радиус описанной окружности; - радиус вписанной окружности; - площадь):

12. Окружность, круг ( - радиус; - длина окружности; - площадь круга):

13. Сектор ( - длина дуги, ограничивающей сектор; - градусная мера центрального угла; - радианная мера центрального угла; - радиус; - площадь):

ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.

Решение:

АМ = 5; ВМ = 12. Пусть радиус вписанной окружности равен см.

По свойствам отрезков касательных, проведенных к окружности из внешней точки: BM = BN, AM = AP.

Тогда BC = BN + NC = 12 + ,

AC = AP + PC = 5 + , AB = BM + MA = 12 + 5 = 17.

По теореме Пифагора АВ = АС + ВС.

( + 12) + ( + 5) = 17.

Упростив уравнение, получим + 17 - 6 = .

Его корни = - 2 (посторонний) и = 3.

Тогда АС = 5 + 3 = 8; ВС = 12 + 3 = 15.

Ответ: 8 см, 15 см.

Задача 2. В параллелограмме ABCD со стороной AD = 25 проведена биссектриса угла А, проходящая через точку Р на стороне ВС. Найдите периметр трапеции APCD, если ее средняя линия равна 15, а диагональ .

Решение:

1) , так как АР - биссектриса; тогда АВР - равнобедренный (АВ = ВР);

2) MN - средняя линия трапеции APCD: 2MN = AD + PC; AD + PC = 30; PC = 5; BP = 20; AB = 20.

По теореме косинусов:

3) В АВР: AP = AB+BP- 2ABBPcosAВР.

4) В АВC: AC = AB+ BC- 2ABBCcosAВР.

Из 4) находим cosAВР = ; подставив найденное значение в 3), получим АР = 900, АР = 30.

5) = AP + РС + CD + DА = 30 + 5 + 20 + 25 = 80.

Ответ: 80.

Задача 3. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, где точки М, Р, К - середины сторон шестиугольника ABCDEF соответственно.

Решение: Для наглядности изобразим правильный шестиугольник как вписанный в окружность.

1) По свойствам правильного шестиугольника BE = 2 AF = .

2) ABEF - равнобедренная трапеция, в которой МК - средняя линия: МК = .

3) РК - равносторонний. Радиус искомой вписанной окружности PN, PN = МК.

PN = = 72, следовательно, = 24.

Ответ: 24.

Задача 4. Углы при одном из оснований трапеции равны и , а разность квадратов длин ее оснований равна 8. Найти площадь трапеции.

Решение:

В трапеции , .

Продолжим боковые стороны AD и ВС до пресечения их в точке Р. CРD - прямоугольный, так как .

S = S - S

Пусть AB = , CD = ; по условию - = 8, AB CD.

S CP DP; S = PB PA.

; ; ; .

.

.

S - = - 8 = 1.

Ответ: 1.

• Домашнее задание № 1

1. В треугольнике АВС медианы АЕ и СD пересекаются в точке О. АЕ = 9; СD = 12; АС = 10. Найдите площадь треугольника АВС. Ответ: 72.

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 16, а боковая сторона 10. Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей. Ответ: 5.

3. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол . Одна из высот делит сторону, к которой проведена, на отрезки 2 и 8, считая от вершины острого угла. Найдите площадь параллелограмма. Ответ: 20.

4. В четырехугольнике ABCD длина стороны АВ составляет 12 см; sinBAC =0,33; sinADB =,44. Сумма углов BAD и BCD составляет . Найдите длину стороны ВС. Ответ: 9.

5. Один из углов трапеции равен , а боковые стороны перпендикулярны. Найдите меньшую боковую сторону трапеции, если средняя линия трапеции равна 10 см, а одно из оснований 8 см. Ответ: 2.

6. Найдите периметр правильного восьмиугольника ABCDEFGH, если площадь четырехугольника ABEG = 8(3 + 2. Ответ: 32.

3