Пособие по теме Решение логарифмических уравнений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для самостоятельной работы студентов

По учебному предмету: МАТЕМАТИКА

Тема: «Решение логарифмических уравнений»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

(базовой подготовки)

Купино

2021

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным предметов,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

естественно-научному циклу

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Купино

2021 г

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия логарифмической функции и ее свойств, логарифмического уравнения, методов решения логарифмических уравнений и подготовиться к занятию по теме «Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений».

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения и формулы по теме: Логарифмические уравнения, тест для самоконтроля и критерии оценки теста.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к предмету.

Решение логарифмических уравнений

Определение Функцию вида   называют логарифмической функцией.

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = loga x:

График логарифмической функции

Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая:

Свойства логарифмов

• Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

• Равенство log a t = log a s, где a 0, a ≠ 1, t 0, s 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

Теорема 1. Если f(x) 0 и g(x) 0, то логарифмическое уравнение log a f(x) = log a g(x) (где a 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Основные методы решения логарифмических уравнений:

Метод потенцирования.

Метод введения новой переменной.

Функционально-графичесий метод.

Метод логарифмирования.

Разберем методы на конкретных примерах

Пример 1. Решите уравнение (метод потенцирования):

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

С учетом того, что

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение (метод потенцирования):

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть,  нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит,  решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение (метод введения новой переменной):

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x 0.

Используем подстановку:

Уравнение принимает вид:

Обратная подстановка:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение (применение свойств логарифмов):

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения. 

Пример 6. Решите уравнение (уравнение, решаемое его преобразованиями):

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Пример 7. Решить уравнение (уравнение, решаемое с помощью его специфики):  log2x=√8-x

Исследуем монотонность функций, входящих в уравнение. Функция y=log2x – возрастающая, функция y=√8-x – убывающая. Если данное уравнение имеет корень, то он единственный.  Далее этот корень надо подобрать (угадать). Подбором находим x=4-это ответ.

Пример 8. При решении уравнений и исследовании их корней часто используется графический способ.

Определить число корней уравнения log0,5x=-(x-1)2  и найти меньший из них. Если построить графики функций, входящих в уравнение (логарифмическую кривую и параболу, ветви которой направлены вниз), то можно увидеть, что графики пересекаются в двух точках. Следовательно, уравнение имеет два решения. В ответ запишем меньший корень x=1. 

Для того, чтобы решать логарифмические уравнения:

- Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях.

- Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.

- Мыслите логически.

- Используйте свойства всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Тест по теме: Решение логарифмических уравнений

Вариант 1

Решите уравнения

Вариант 2

Решите уравнения

Вариант 3

Решите уравнения

Вариант 4

Решите уравнения

Эталоны ответов теста по теме: Решение логарифмических уравнений

Критерии оценивания тестовых заданий

4 вопроса 5 (отлично) (4 ответа)

4 вопроса 4 (хорошо) (3 ответа)

4 вопроса 3 (удов) (2 ответа)

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 (11) кл. – М.: 2018

2. Башмаков М.И. Сборник задач: учеб. пособие (базовый уровень). 11 кл. – М.: 2012

Интернет-ресурсы

1. http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в

школе, XXI век».

1. http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.

2. www.school-collection.edu.ru – Единая коллекции Цифровых образовательных ресурсов