Практические основы решения задач с экономическим содержанием в структуре ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задача 6 ( оценить решение выпускников 2022года стр.57-59)

Задача 7

Задачи № 8 и №9

Критерии проверки и оценка решений задания 15

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

• 1 . ввести переменные: S, n, r, k, a
• 2. начертить таблицу
• 3. заполнить таблицу по условию
• 4. вывести уравнение
• 5. решить уравнение и найти необходимое значение

Формула сложных процентов

Пусть клиент положил в банк А руб . под r % годовых на n лет.

В конце первого года будет начислена сумма А• r/100 руб.

и сумма вклада станет равна S=А+ А• r/100 = А(1+r/100) руб.

В конце второго года будет начислено А(1+r/100) • r/100 и на счету у гражданина окажется А(1+r/100)+ А(1+r/100) • r/100 =А(1+R/100)² руб.

И так далее, в конце n-го года сумма на счете станет равна S= А(1+R/100)n руб .

Было, руб.

1

2 год

Начислено, руб.

год

А

Стало, руб.

3 год

А• r/100

А(1+r/100)

n

А(1+r/100) • r/100

А+ А• r/100

А(1+R/100)²

А(1+r/100)+ А(1+r/100) • r/100 = =А(1+r/100)²

А(1+R/100)² • r/100

год

А(1+r/100)² +А(1+r/100)² • r/100 =А(1+r/100) ³

S=А(1+r/100)n

Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц . В конце каждого месяца начисляются проценты на оставшуюся сумму долга, затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами . Сколько рублей Анатолий выплатил банку? АННУИТЕТ

Месяц

Начисление на долг

0

Платеж

-

1

Sk

Остаток долга

-

2

S

а

3

(Sk-а) k

(Sk²-ak-a)k

а

Sk -a

Sk²-ak -a

а

Sk³-ak²-ak -a =0

• S =331000 руб.
• n=3 месяца
• r=10%
• k=1+0,01r
• а- платеж, руб.
• =

Sk³- a k²- a k- a =0

Sk³= a k²+ a k+ a

Sk³= a (k²+k+1)

а = (Sk³) /(k²+k+1)

а = (331000•1,1³) : (1,1²+1,1+1) = 331000•1,331:3,31=10000•1,331=

=133 100

3а = 3•133 100 = 399 300

Ответ: 399 300 руб.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы: -1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r-целое число; -со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; -15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблице. Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей. .

дата

долг

15.01

1

15.02

0,6

15.03

0,4

15.04

15.05

0,3

0,2

15.06

15.07

0,1

0

месяц

Долг(1 число)

0

-

платеж

1

2

Остаток (15 число)

1k

-

0,6k

1

1k-0,6

3

4

0,4k

0,6

0,6k-0,4

0,4

0,3k

5

0,4k-0,3

0,2k

6

0,3k-0,2

0,3

0,2

0,1k

0,2k-0,1

0,1k-0

0,1

0

S=1млн

n=6

r-процентная ставка

K=1+0,01r

1+0,01r

0,01r

r

r=7%

1k-0,6+0,6k-0,4+0,4k-0,3+0,3k-0,2+0,2k-0,1+0,1k

2,6 k-1,6

Дифференцированный кредит (равномерно убывающий долг)

ЗАДАЧА №1:

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: -1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; -со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; -15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит.

Найдите r.

1 этап: введение переменных

Пусть

• S руб . - сумма кредита
• n = 19
• r - процентная ставка -?
• k = 1+ 0,01r
• Общая cумма выплат = 1,3S

2 этап: составление таблицы

Месяц

Долг

1

1 числа

Долг

2

19/19 Sk

15 числа

Выплата

18/19 S

18/19 Sk

3

со 2 по 14 число

…

19/19 Sk - 18/19 S

17/19 S

17/19 Sk

18

…

18/19 Sk - 17/19 S

16/19 S

17/19 Sk - 16/19 S

…

2/19 Sk

19

…

1/19 S

1/19 Sk

2/19 Sk - 1/19 S

0

1/19 Sk

3 этап: составление и решение уравнений

19/19 S k – 18/19 S + 18/19 S k - 17/19 S + 17/19 S k – 16/19 S + … + 2/19 S k - 1/19 S + 1/19 S k = 1,3 S

Разделим каждый член уравнения на S :

19/19 k – 18/19 + 18/19 k - 17/19 + 17/19 k – 16/19 + … +2/19 k - 1/19 + 1/19 k = 1,3

k(19/19 + 18/19+17/19 +16/19+…+1/19) – (18/19 + 17/19 +16/19+…+1/19) = 1,3

Используя формулу суммы арифметической прогрессии вычислим выражения в скобках :

S 19 = (19/19+1/19) •1/2• 19 =20/19 •1/2 • 19=10

S 18 = (18/19+1/19) • 1/2 • 18 = 1 •1/2 • 18=9

Получили:

10 k – 9 = 1,3

10 k = 1,3 + 9

10 k = 10,3

k = 10,3:10 = 1,03

следовательно r = 3%

Ответ: 3%

ЗАДАЧА №2

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы: -1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; -со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; -15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит.

Найдите r.

Пусть

S руб . - сумма кредита

n = 39

r - процентная ставка -?

k = 1+ 0,01r

Общая cумма выплат = 1,2S

Месяц

1

Долг

39/39 Sk

1 числа

2

Долг

38/39 Sk

…

15 числа

38/39 S

Выплата

39/39 Sk - 38/39 S

…

со 2 по 14 число

37/39 S

38

…

39

2/39 Sk

38/39 Sk - 37/39 S

1/39 Sk

…

1/39 S

0

2/39 Sk - 1/39 S

1/39 Sk

Составим и решим уравнение:

39/39 S k – 38/39 S + 38/39 S k - 37/39 S + … + 2/39 S k - 1/39 S + 1/39 S k = 1,2 S

Разделим каждый член уравнения на S :

39/39 k – 38/39 + 38/39 k - 37/39 + … +2/39 k - 1/39 + 1/39 k = 1,2

k (39/39 + 38/39+…+1/39) – (38/39 + 37/39 +…+1/39) = 1,2

Используя формулу суммы арифметической прогрессии

S n =(a 1 +a n ) • 1/2•n вычислим выражения в скобках:

S 39 = (39/39+1/39) :2• 39 =40/ 39 •1/2 • 39 = 20

S 38 = (38/39+1/39):2 • 38 = 1: 2 • 38 = 19

Получили:

20 k – 19 = 1,2

20 k = 1,2 + 19

20 k = 20,2

k = 20,2:20 = 1,01

следовательно r = 1%

Ответ: 1%

Задача №3

15-го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы: -1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; -15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,3 млн.рублей ?

Пусть n =14 месяцев r =4% k = 1+0,01r =1,04 S - сумма кредита, руб.-? Общая сумма выплат =1,3 млн.руб.

Месяц

Долг

1

1 числа

Sk

Долг 15 числа

2

Выплата

13/14 S

13/14 Sk

…

…

со 2 по 14 число

Sk - 13/14 S

13

12/14 S

…

13/14 Sk - 12/14 S

2/14 Sk

14

..

1/14 Sk

1/14 S

2/14 Sk - 1/14 S

0

1/14 Sk

Решение:

Sk -13/14 S+ 13/14 Sk -12/14 S +…+ 2/14 Sk -1/14 S + 1/14 Sk = 1,3

S (k -13/14 + 13/14k -12/14 +…+ 2/14k -1/14+ 1/14k) = 1,3

S (k (1+13/14+…2/14+1/14) - ( 13/14 +12/14 +… + 1/14 ) ) = 1,3

S (k (1+…+1/14) - ( 13/14 +… + 1/14 ) ) = 1,3

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии

S (k ((1+1/14):2*14)-((13/14+1/14):2*13) = 1,3

S (104/100*15/2-13/2) = 13/10

S *26/20 = 13/10

S * 13/10 = 13/10

S = 1

Ответ: 1 млн.руб.

Задача №4 ( дифференцированный платеж с дополнительными условиями )

15-го января планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы: -1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; -15-го числа каждого месяца c 1-го по 25-й долг должен быть на 40 тыс.меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тысячи рублей?

Задача №5 ( дифференцированный платеж с дополнительными условиями )

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяцев. Условия его возврата таковы: -1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; -15-го числа каждого месяца c 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- к 15-му числу 31 месяца долг должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 30 месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?

Задача №6 ( комбинированный платеж )

В июле 2020 года планируется взять в банке кредит на сумму 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 130 000 рублей, а во второй год -150 000 рублей.