Презентации моих учеников. "Метод интервалов".

Метод интервалов

Зуев Илья

0 и  f  ( x ) " width="640"

Определение

Метод интервалов  — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида  f  ( x ) 0 и  f  ( x )

Алгоритм решения

Алгоритм состоит из 5 шагов:

• Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
• Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;

0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x) " width="640"

Алгоритм решения

• Найти кратность корней. Если корни четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество одинаковых решений)
• Выяснить знак (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
• Отметить знаки на остальных интервалах, чередуя их.

После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f(x) 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x)

Алгоритм решения

В случае с нестрогими неравенствами( ≤ , ≥) необходимо включить в интервалы точки, которые являются решением уравнения f(x) = 0.

x = 2 x + 7 = 0 = x = -7 Получили два корня. " width="640"

Примеры

(x - 2)(x + 7)

• Шаг 1:  заменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x - 2)(x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x - 2 = 0 = x = 2

x + 7 = 0 = x = -7

Получили два корня.

0 (10 – это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс. " width="640"

Примеры

• Шаг 2:  отмечаем эти корни на координатной прямой;
• Шаг 3:  находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). 

Получим:

f(x) = (x - 2)(x + 7)

x = 3

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаем, что f(3) = 10 0 (10 – это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Примеры

• Шаг 4: нужно отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси.

Примеры

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x - 2)(x + 7)

Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

Дополнение

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:

• Непрерывная функция меняет знак только в тех точках,  где она равна нулю . Такие точки разбивают координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.

Дополнение

• Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала. Например, для интервала (−5; 6) мы вправе брать  x  = −4,  x  = 0,  x  = 4 и даже  x  = 1,29374, если нам захочется. Почему это важно? Да потому что многих учеников начинают грызть сомнения. Мол, что если для  x  = −4 мы получим плюс, а для  x  = 0 — минус? А ничего — такого никогда не будет. Все точки на одном интервале дают один и тот же знак.

Спасибо за внимание!