Презентация к лекции на тему "Комплексные числа и действия над ними"

Комплексные числа и действия

над ними

• После изучения темы студенты должны: Знать: алгебраическую, тригонометрическую формы комплексного числа. Уметь: производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую; пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел; в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с действительными коэффициентами.

Историческая справка

Понятие комплексного числа возникло из практики и теории решения алгебраических уравнений.

С комплексными числами впервые математики встретились при решении квадратных уравнений . Вплоть до ХVI века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание.

Кардано, занимавшийся решением уравнений 3-й и 4-й степеней был одним из первых математиков, формально оперировавших комплексными числами, хотя их смысл во многом оставался для него неясным.

Смысл комплексных чисел разъяснил другой итальянский математик Р.Бомбелли . В своей книге «Алгебра» (1572 г.) он впервые изложил правила действий над комплексными числами в современной форме.

Вместе с тем, вплоть до XVIII века, комплексные числа считали «воображаемыми» и бесполезными. Интересно отметить, что даже такой выдающийся математик как Декарт, отождествлявший действительные числа с отрезками числовой прямой, считал, что для комплексных чисел не может быть никакого реального истолкования, и они навечно останутся воображаемыми, мнимыми. Аналогичных взглядов придерживались великие математики Ньютон и Лейбниц.

содержание

Лишь в XVIII веке многие задачи математического анализа, геометрии, механики требовали широкого применения операций над комплексными числами, что создало условия для разработки их геометрического истолкования.

В прикладных работах Даламбера и Эйлера в середине XVIII века авторы представляют произвольные мнимые величины в виде z=a+ib , что позволяет изображать такие величины точками координатной плоскости. Именно эта интерпретация была использована Гауссом в работе, посвященной исследованию решений алгебраического уравнения.

И только в начале XIX века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами.

Этому математика обязана Гауссу, опубликовавшему в 1831 г. свою работу по теории чисел. Тем самым был положен конец сомнениям в законном и полезном применении комплексного числа.

содержание

Основные понятия

Определение: Комплексным числом z называется выражение вида z=a+ib , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица , которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z

( a = Re z ), а b - мнимой частью ( b = Im z ).

Если a=Re z=0, то число z будет чисто мнимым , если b=Im z=0 , то число z будет действительным .

Числа z=a+ib и называются комплексно – сопряженными .

Два комплексных числа z 1 =a 1 +ib 1 и z 2 =a 2 +ib 2 называются равными , если соответственно равны их действительные и мнимые части:

a 1 =a 2 ; b 1 =b 2

Комплексное число равно нулю , если соответственно равны нулю действительная и мнимая части

a=b=0.

Также комплексные числа можно записывать, например, в виде z=x+iy , z=u+iv .

содержание

Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой M(x;y) плоскости xOy такой, что х = Re z, у = Im z . И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy (рисунок 1).

y

M(x; y)

y

x

0

x

Рисунок 1

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Ось абсцисс называется действительной осью , так как на ней лежат действительные числа z=x+0i=x .

Ось ординат называется мнимой осью , на ней лежат мнимые комплексные числа z=0+yi=yi .

содержание

Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы

т.е. векторы, началом которых служит точка O(0;0) , концом M(x;y) .

Длина вектора изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается | z| или r .

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или φ .

Аргумент комплексного числа z=0 не определен.

Аргумент комплексного числа z≠0 - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2,..) :

Arg z=arg z+2 πk,

где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (- π, π].

содержание

Формы записи комплексных чисел

Запись числа в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле:

содержание

Действия над комплексными числами

1) Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

а) Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел z 1 =x 1 +y 1 i и z 2 =x 2 +y 2 i называется комплексное число, определяемое равенством

z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ).

Свойства операции сложения:

1. z 1 +z 2 = z 2 +z 1 ,

2. (z 1 +z 2 )+z 3 =z 1 +(z 2 +z 3 ) ,

3. z+0=z .

б) Вычитание комплексных чисел

Вычитание определяется как действие, обратное сложению.

Разностью двух комплексных чисел z 1 =x 1 +y 1 i и z 2 =x 2 +y 2 i называется такое комплексное число z , которое, будучи сложенным с z 2 , дает число z 1 и определяется равенством

z=z 1 – z 2 =(x 1 – x 2 )+i(y 1 – y 2 ).

содержание

в) Умножение комплексных чисел

Произведением комплексных чисел z 1 =x 1 +y 1 i и z 2 =x 2 +y 2 i называется комплексное число, определяемое равенством

z=z 1 z 2 =(x 1 x 2 –y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 –x 2 y 1 ).

Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение

i 2 = – 1.

Свойства операции умножения:

1. z 1 z 2 = z 2 z 1 ,

2. (z 1 z 2 )z 3 =z 1 (z 2 z 3 ) ,

3. z 1 (z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 ,

4. z∙1=z .

г) Деление комплексных чисел

Деление определяется как действие, обратное умножению.

Частным двух комплексных чисел z 1 и z 2 ≠0 называется комплексное число z , которое будучи умноженным на z 2 , дает число z 1 , т.е. если z 2 z = z 1 .

Если положить z 1 =x 1 +y 1 i , z 2 =x 2 +y 2 i≠0, z=x+yi, то из равенства (x+yi)(x 2 +iy 2 )= x 1 +y 1 i, следует

Решая систему, найдем значения x и y :

Таким образом,

содержание

На практике вместо полученной формулы используют следующий прием: умножают числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).

Пример 2. Даны комплексные числа 10+8i, 1+i. Найдем их сумму, разность, произведение и частное.

Решение.

а) (10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=11+9i;

б) (10+8i)–(1+i) =(10–1)+(8–1)i=9+7i;

в) (10+8i)(1+i) =10+10i+8i+8i 2 =2+18i;

г)

содержание

д) Степени мнимой единицы

Выпишем целые степени мнимой единицы :

и т.д.

В общем виде полученный результат можно записать так :

Пример 3. Вычислить i 2092 .

Решение.

• Представим показатель степени в виде n=4k+l и воспользуемся свойством степени с рациональным показателем z 4k+1 =(z 4 ) k ∙ z l .

Имеем: 2092=4∙523 .

Таким образом, i 2092 = i 4∙523 =(i 4 ) 523 , но так как i 4 =1 , то окончательно получим i 2092 =1 .

содержание

Ответ: i 2092 =1 .

При возведении комплексного числа a+bi во вторую и третью степень пользуются формулой для квадрата и куба суммы двух чисел, а при возведении в степень n ( n – натуральное число, n≥4 ) – формулой бинома Ньютона:

Для нахождения коэффициентов в этой формуле удобно пользоваться треугольником Паскаля.

содержание

е) Извлечение квадратного корня из комплексного числа

Квадратным корнем из комплексного числа называется такое комплексное число, квадрат которого равен данному.

Обозначим квадратный корень из комплексного числа x+yi через u+vi , тогда по определению

Формулы для нахождения u и v имеют вид

(1)

Знаки u и v выбирают так, чтобы полученные u и v удовлетворяли равенству 2uv=y .

содержание

Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте определение комплексного числа.

2. Какое комплексное число называется чисто мнимым?

3. Какие два комплексных числа называются сопряженными?

4. Объясните, что значит сложить комплексные числа, заданные в алгебраической форме; умножить комплексное число на действительное.

5. Объясните принцип деления комплексных чисел, заданных в алгебраической форме.

6. Запишите в общем виде целые степени мнимой единицы.

7. Что означает возведение комплексного числа, заданного алгебраической формой в степень ( n- натуральное число)?

8. Расскажите как изображаются комплексные числа на плоскости.

9. Какая форма записи называется тригонометрической формой комплексных чисел?

10. Сформулируйте определение модуля и аргумента комплексного числа.

11. Сформулируйте правило умножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

12. Сформулируйте правило нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

13. Сформулируйте правило возведения в степени комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

14. Сформулируйте правило извлечения корня n-ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.

15. Расскажите о значении корня n-ой степени из единицы и о сфере его применения.