Презентация к занятию "Корни натуральной степени из числа, их свойства"

Корни натуральной степени из числа и их свойства

Цель урока:

• Обеспечение усвоения понятия корня натуральной степени из числа.
• Формирование представлений о свойствах корней и действиях с корнями.
• Формирование умений преобразования корней.

Корнем n – й степени из действительного числа a ( n – натуральное число) называют такое действительное число x , при возведении которого в степень n получается число a .

a

Это число обозначают: x=

- подкоренное выражение

-показатель корня

n

Если a  0, n = 2,3,4,5,…, то

n

n

n

1)  a  0;

2) (  a ) = a;

Неотрицательное значение корня n –й степени из неотрицательного числа называется арифметическим корнем .

Операция извлечения корня является обратной

по отношению к возведению в соответствующую

степень.

Возведение в степень

Извлечение корня

5 ² = 25

 25 = 5

3

10 ³ = 1000

 1000 = 10

4

0,3 ⁴ = 0,0081

 0,0081 = 0,3

n

Иногда выражение  a называют радикалом от

латинского слова radix – «корень».

Символ  - это стилизованная буква r.

0 и 7 ² = 49; 3 б)  0,125 = 0,5, так как 0,5 0 и 0,5³ = 0,125; 4 в)  0 ; г)  17 ≈ 2,03 Корнем нечётной степени n из отрицательного числа a ( n =3,5,…) называют такое отрицательное число, которое при возведении в степень n даёт в результате число a . " width="640"

Пример:

3

7

4

Вычислить: а)  49; б)  0,125; в)  0 ; г)  17

Решение:

а)  49 = 7, так как 7 0 и 7 ² = 49;

3

б)  0,125 = 0,5, так как 0,5 0 и 0,5³ = 0,125;

4

в)  0 ;

г)  17 ≈ 2,03

Корнем нечётной степени n из отрицательного числа a ( n =3,5,…) называют такое отрицательное число, которое при возведении в степень n даёт в результате число a .

Итак,

Если a

n

n

n

1)  a

2) (  a ) = a;

Вывод:

Корень чётной степени имеет смысл (т.е. определён) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечётной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.

Пример:

Решите уравнения:

а)

Возведём обе части уравнения в куб:

б)

Возведём обе части уравнения в четвёртую степень:

Решений нет. Почему?

в)

г)

Возведём обе части уравнения в шестую степень:

Рассмотрим примеры:

1) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим примеры:

2) Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, делаем вывод:

 

При n-чётном существуют два корня n-й степени из любого положительного числа a; корень n-й степени из числа 0 равен нулю; корней чётной степени из отрицательных чисел не существует.

При нечётном n существует корень n-й степени из любого числа a, и притом только один!

 

 

Свойства корней n -степени

1.Корень n -степени ( n =2,3,4,5, …) из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней n -степени из этих чисел:

=

Пример:

2*3=6

=

=

2. Чтобы извлечь корень из дроби, нужно извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно и первый результат разделить на второй:

=

=

=

Пример:

Пример.

Вычислить:

Пример.

Вычислить:

Пример.

Вычислить :

3. Если a ≥0, n =2,3,4,5,… и k – любое натуральное число, то справедливо равенство:

Пример:

Пример.

Вычислить:

4. Если a ≥0, n и k - натуральные числа, большие 1, то справедливо равенство:

Пример:

Пример.

Упростить выражение:

5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то значение корня не изменится:

Пример:

Пример.

Пример.

Упростим выражение:

6. Чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, нужно показатель степени разделить на показатель корня:

Пример:

Самостоятельная работа

Вариант 1.

Вариант 2.

1. Вычислите:

2. Упростите выражение: