Презентация к занятию по теме: "Предел функции"

22.03.2021

Тема: Предел функции. Вычисление пределов функции .

Цель:

Изучить понятие предела функции, алгоритм вычисления пределов, основные свойства пределов.

Предел функции.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке:

Общий алгоритм решения пределов

1. Присвоить переменной в выражении после знака предела значение, к которому она стремится.

Общий алгоритм решения пределов

2. Если выражение после знака предела содержит сумму, произведение и/или частное – применить свойства о пределе суммы, произведения и частного.

3. Перейти к пункту 6.

Общий алгоритм решения пределов

4. Если выражение после знака предела представляет собой дробь и после присвоения переменной значения, к которому она стремится, знаменатель дроби обращается в нуль, преобразовать выражение, применив такие приёмы, как: разложение выражений числителя и знаменателя на множители, формулы сокращенного умножения, сокращение дробей, умножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение. После преобразования перейти к пункту 6.

Общий алгоритм решения пределов

5. Если выражение после знака предела после подстановки переменной значения, к которому она стремится, принимает неопределённость вида или неопределённость вида , применить действия, перечисленные в пункте 4. Затем перейти к пункту 6.

Общий алгоритм решения пределов

6. Вычислить выражение и записать ответ.

Предел

Предел

Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

Теоремы о пределах

если

Вычисление предела функции в точке

Проверка

Проверка

Проверка

Проверка

Проверка

оо

Проверка

Докажите, что

Вычисление предела функции в точке

Найдем

Предел числителя

Предел знаменателя

.

Используя теорему о пределе частного, получим

Найдем

Предел числителя

Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя.

Раскрытие неопределенности

• При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида

• Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.

Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.  

Разделим числитель и знаменатель на  х 2

Разделим числитель и знаменатель на х 4  

  Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться  конечное число , ноль или бесконечность.

Разделим числитель и знаменатель на  х 2

  подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Очевидно, что можно сократить на  (х+1)

Вычислить предел 

:

Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

  В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0

Общее правило:  если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия  нужно разложить числитель и знаменатель на множители .

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Найти предел 

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. 

Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют  метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.  

Замечательные пределы

• первый замечательный предел

• второй замечательный предел

Примеры