Презентация методов решения по теме "Множество значений функции в задачах ЕГЭ" ( без производной)

Множество значений функции в заданиях ЕГЭ и при подготовке к ЕГЭ.

разобрать подходы к решению задач по теме,

для этого

• систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме;
• развивать умение анализировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, делать выводы;
• воспитывать самостоятельность, ответственность при проведении самооценки.

Знать, это значит уметь применять свои знания. Х.Ж.Ганеев.

Чтобы успешно решать задачи на нахождение множества значений функции нужно знать: -область определения -область значений функции -характер монотонности

При решении задач на нахождение множества значений функции применяются

▪ метод оценки

▪ графический метод

▪ использование свойств непрерывности и монотонности функции

▪ использование наибольшего и наименьшего значения функции

▪ метод введения параметра

Метод оценки

Найти Е(у) функции у = cos7x + 5cosx

Решение: -1 ≤ cos 7x ≤ 1,

-5 ≤ 5 cos x ≤ 5,

-6 ≤ cos7x + 5cosx ≤ 6,

при x= π y= -6,

при x=0 y=6.

Ответ: E (y)=[-6;6]

Замечание. Функцию у = а sinx + bcosx можно преобразовать методом введения вспомогательного угла:

π

π

π

Π ≤

Замечание: метод оценки можно применять после преобразования функции. Границы значений функции, полученные с помощью этого метода, могут оказаться существенно расширенными.

Например : E (cos2x +2cosx)=[-3;3], что не верно .

Графический метод.

Найти E (y) функции у = cos2x +2cosx.

Решение : у( x)= cos2x +2cosx= cos 2 x – sin 2 x +2cosx =2cos 2 x +2cosx -1

Пусть cos x =t, t Є [-1;1]

y (t) = 2t 2 + 2t-1,

X 0 = -0,5, y 0 = -1,5, y(1)= 3 , у(-1)=-1.

Ответ: Е(у)= [-1,5;3]

Є

Использование свойств непрерывности и монотонности функции

y(x)- монотонно возрастающая функция на [a;b],

у (a) - наименьшее значение функции, у( b) – наибольшее значение функции , тогда Е(у) = [ у(а); у( b ) ] на [a;b] .

y(x)

g(x)

Найти наименьшее значение функции у = на [0;1]

Решение . g (x) = 4 x-1 +3 x+1 – непрерывная и возрастающая функция при х Є R,

как сумма двух непрерывных возрастающих функций, тогда у =

-убывающая функция при х Є R , тем более при х Є [0;1].

Значит, наименьшее значение функция будет принимать на правом конце интервала,

у(1)= Ответ : 0,1

Использование наибольшего и наименьшего значения функции

Найти множество значений функции y =

Решение . cos 3 x -3sin 2 x +3=cos 3 x -3(1-cos2x)+3=cos 3 x + 3cos 2 x.

Пусть t(x) = cosx, t Є [-1;1]; тогда у=

Рассмотрим g(t)= t 3 +3t 2 на [-1;1].

По свойству непрерывной функции множество значений g(t ) заключено между ее наибольшим и наименьшим значением на данном отрезке.

g’(x) = 3t 2 +6t, g’(x) =0 , тогда 3 t(t+2)=0

t=0 или t=-2, 0 Є [-1;1]

g(0) =0, g(-1)=2, g(1)=4 , значит наибольшее g(x) равно 4, а наименьшее 0.

Тогда E(g(t)) =[0;4].

Функция у= - непрерывная и возрастающая, тогда наименьшее значение у(0) = , наибольшее значение у(4) = .

Ответ : Е(у) = [ 3;48 ]

Метод введения параметра

Найти множество значений функции

Решение . Д(у) = R. Рассмотрим данное равенство как уравнение с параметром у.

yx 2 + y=x 2 -3x+1

(y-1)x 2 +3x + (y-1)=0

1). Если у=1, то 3х=0, х=0.

2). Если у ≠1, то квадратное уравнение имеет корень, если Д ≥ 0.

Д = 9 – 4 (у-1) 2 , 9 – 4 (у-1) 2 ≥ 0,

(у-1) 2 ≤ 2,25,

Iy-1I ≤ 1,5,

-1,5 ≤ у-1 ≤ 1,5,

E(y) =[-0,5;1) υ (1;2,5]

Объединяя (1) и (2), получаем Е(у) = [ -0,5;2,5 ] .

Ответ : Е(у) = [ -0,5;2,5 ]

Спасибо за работу

Презентацию выполнила

Лаврова И.В.,

учитель I кв. категории