Окружность.
Свойства диаметров и хорд окружности
7 класс
Учитель математики высшей категории: Берсенева Т. А.
МКОУ СОШ № 27 г. Нязепетровска
Определение окружности
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром окружности , а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности .
Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину.
Из определения следует, что окружность представляет собой геометрическое место точек , равноудалённых от центра.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой .
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (т.е. диаметр - это частный случай хорды).
Очевидно, диаметр окружности в два раза больше ее радиуса. Центр
окружности является серединой любого диаметра.
Окружность разбивает множество точек плоскости, не принадлежащих ей, на две части — внутреннюю и внешнюю . Внутренней части принадлежат те точки, для которых расстояние от центра окружности меньше радиуса, а внешней части — те точки, для которых расстояние от центра больше радиуса.
Точки внутренней части называют внутренними ( точки Е, Р, K и О на рис. ), а точки внешней части — внешними относительно окружности
( точки D, N и M на рис. ).
Назовите на рисунке
а) радиусы;
б) хорды;
в) диаметры;
г) центр окружности
P
F
M
O
D
E
C
ОМ – высота. Значит, ОМ ⏊ CD, Поэтому АВ ⏊ CD. " width="640"
Свойства диаметра
1 0 . Диаметр, проведённый через середину хорды, перпендикулярен этой хорде.
Доказательство:
1) Пусть диаметр АВ окружности с центром О радиуса r проходит через середину М хорды CD .
Докажем, что диаметр АВ ⏊ CD.
∆ COD равнобедренный ( ОС = ОD = r ),
и отрезок ОМ является его медианой.
= ОМ – высота. Значит, ОМ ⏊ CD,
Поэтому АВ ⏊ CD.
Свойства диаметра
1 0 . Обратно : диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Доказательство:
2) Пусть теперь диаметр АВ ⏊ CD. Докажем, что он делит хорду пополам.
Рассмотрим диаметр EF , проходящий через середину М хорды CD .
По доказанному выше, EF ⏊ CD.
Но тогда через центр О окружности
проходят две прямые AB и EF ,
перпендикулярные CD , значит, они
совпадают. Поэтому EF и AB — один и тот
же диаметр.
Свойства диаметра
Говорят, что отрезок АВ виден под прямым углом из точки С , если угол АСВ прямой.
2 0 . Каждая точка, из которой диаметр окружности виден под прямым углом, лежит на этой окружности.
Доказательство:
- Пусть АВ - диаметр окружности
с центром О . Тогда если для
Точки С угол АСВ прямой, то в
прямоугольном ∆ АСВ медиана СО
равна половине гипотенузы, к
которой она проведена. Тогда
ОА = ОВ = ОС , т.е. С лежит на
окружности с центром О радиуса ОА .
Свойства диаметра
2 0 . Обратно: из каждой точки окружности любой диаметр, не проходящий через данную точку, виден под прямым углом.
Доказательство:
2) Пусть точка C лежит на
окружности с диаметром AB ,
O - центр этой окружности.
Тогда точка O - середина отрезка AB .
В ∆ АСВ медиана CO равна половине стороны, к которой она проведена, поэтому угол АСВ прямой.
Доказанное утверждение позволяет определить ещё одно геометрическое место точек : множество всех точек, из которых данный отрезок АВ виден под прямым углом, есть окружность с диаметром АВ (за исключением точек А и В ).
Задача 1
Хорда АВ равна 9 см, угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.
Задача 2
В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 55°. Найдите величину угла ODC.
Задача 3
Центр окружности лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 9°. Ответ дайте в градусах.