Прямая и обратная пропорциональность

Содержание:

Прямая пропорциональность

 Функция прямой пропорциональности и ее график

Свойства функции прямой пропорциональности

Обратная пропорциональность

Функция обратной пропорциональности и ее график

Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу. Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике. Прямая пропорциональность Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно. Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа. Функция прямой пропорциональности и ее график Эта зависимость описывается следующей формулой: y = k * x. Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности. Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат. Пример построения Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0). Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k < 0 (справа). Свойства функции прямой пропорциональности Основные свойства следующие: область определения, значений составляют все действительные числа; является нечетной; возрастает при всех значениях x, если k > 0; если коэффициент со знаком «-», т. е. если k < 0, то убывает; если k > 0, то прямая располагается в 1 - 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k < 0, то прямая находится во 2 - 4 четвертях и образует тупой угол с осью Х. Обратная пропорциональность Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу. Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы). Функция обратной пропорциональности и ее график Функция задается формулой: где k – любое действительное число, кроме 0. График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0). Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y. Пример построения Нужно построить график функции y = 8/x.  Вот так выглядит таблица для данной функции: Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так: Свойства функции обратной пропорциональности Основные следующие: области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0; если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x; оси координат 0х и 0у - это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их. К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше.  Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.