«Применение прямоугольника для нахождения площади многоугольников» Проектно-исследовательская работа

Муниципальное образовательное учреждение

Нижнеингашская средняя общеобразовательная школа №1

П. Нижний Ингаш Нижнеингашского района

Красноярского края

«Применение прямоугольника для нахождения площади многоугольников»

Проектно-исследовательская работа

Автор:

Ковалёва Ирина

8 «А» класс

Руководитель:

Наследникова Людмила Ивановна

п. Нижний Ингаш

2011 г.

1. Оглавление

1. Введение……………………………………………………. 3
2. Основная часть……………………………………………... 4
3. Заключение…………………………………………………. 8
4. Выводы……………………………………………………… 10
5. Список используемой литературы и других источников... 11
6. Приложения (презентация).

20. Цель работы: Исследование возможности применения прямоугольника для нахождения площади большого класса многоугольников.
21. Задачи:

1. Проанализировать теоретическую информацию по прямоугольникам, многоугольникам.
2. Проанализировать теоретическую информацию по площади.
3. Провести моделирование прямоугольника на базе всех видов треугольников, параллелограммов, трапеций и произвольного четырёхугольника.
4. Выделить в модели прямоугольник, его части, искомую фигуру и определить способ нахождения площади искомой фигуры. Клетка – единица измерения площади.
5. Сформулировать алгоритм нахождения площади.

1. Методы исследования: Моделирование прямоугольника, выделение его частей, определение способа нахождения площади искомой фигуры, использование клетки как единицы площади.
2. Основной результат исследования: Сформулирован алгоритм нахождения площади большого класса многоугольников с помощью прямоугольника.
3. Введение
4. Нас окружает интересный мир. Мы хотим найти своё место в нём. В жизни каждого ребёнка определенную роль играет школа. Цель пребывания ребёнка в школе – его социальная адаптация, то есть становление его как личности, способной предвидеть далёкие результаты своего труда, владеть новыми способами деятельности и новыми способами отношений, умеющей, не ущемляя права и обязанности других, самоопределяться.
5. Школьное образование – это индивидуальный процесс усвоения и активного освоения совокупности систематизированных знаний и связанных с ними умений, навыков и способов деятельности. Прожив школьную жизнь, мы должны иметь достаточный уровень знаний, который необходим для достижения личностей личностных планов и получения дальнего образования.
6. В школе много предметов. Освоение их требует много времени и сил. Математика позволяет правильно ориентироваться в окружающем мире и оказывает существенное влияние на развитие. За годы учёбы мы приобретаем свой математический опыт, который формирует нашу культуру.
7. В контрольно-тренировочных упражнениях ЕГЭ за 2010 год выделили знания на нахождение площади многоугольников. Имеется несколько типов многоугольников и есть способы нахождения их площади. Надо знать и помнить много теорем и формул. Чтобы сэкономить время и силы, надо иметь универсальный прием, который позволяет найти площадь большого количества многоугольников.
8. Поэтому цель моей работы: выделить универсальный приём для нахождения площади большого количества многоугольников различных видов.
9. Основная часть
10. Прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Проведём диагональ прямоугольника и получим прямоугольный треугольник, площадь которого равна половине прямоугольника.
11. Площадь – это величина, которая выражается положительным числом. Площадь измеряется квадратами: км², м², дм², см², мм², гектар, ар.
12. Свойства площади: равные многоугольники имеют равные площади; если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников; площадь квадрата равна квадрату его стороны. [1]
13. Прямоугольник Прямоугольный треугольник
14. S – площадь S - площадь
15. а, в – смежные стороны а, в - катеты
16. 
17. S = а · в S = а·в/2
18. Для исследования примем:
19. 1. Единица измерения площади – клетка.
20. 2. Алгоритм нахождения площади многоугольника:
21. 1) моделируем на базе данного многоугольника целесообразный прямоугольник;
22. 2) выделяем части прямоугольника;
23. 3) определяем площадь прямоугольника и его частей, которые надо «отбросить»;
24. 4) записываем выражение для нахождения площади искомой фигуры.
25. Исследуем вопрос нахождения площади прямоугольных треугольников.
26. Сделаем рисунки. Применим к ним алгоритм.
27. 
28. S = 6·4/2 = 12 (кл)
29. Вывод: Площадь прямоугольных треугольников нашли как площадь половины прямоугольника.
30. Исследуем вопрос нахождения площади остроугольных треугольников
31. Сделаем рисунки. Применим алгоритм.
32. 
33. S = 6 · 4 – 4·2/2 – 4·4/2 =24 – 4 – 8 = 12 (кл)
34. 
35. S = 8 · 6 – 2·8/2 – 4·6/2 - 4·4/2 = 48 – 8 – 12 – 8 = 20 (кл)
36. Вывод: Площадь остроугольного треугольника можно найти с помощью данного алгоритма.
37. Исследуем вопрос о нахождении площади тупоугольного треугольника.
38. Сделаем рисунки. Применим алгоритм.
39. 
40. 
41. S = 8·4/2 – 4·2/2 = 16 – 4 = 12 (кл)
42. 
43. S = 6 · 8 – 1·6/2 – 2·5/2 – 1 · 2 = 48 – 3 – 5 – 2 = 38 (кл)
44. Вывод: Площадь тупоугольного треугольника можно найти с помощью данного алгоритма.
45. Исследуем вопрос о нахождении площади четырёхугольника.
46. Сделаем рисунки. Применим алгоритм.
47. Параллелограмм
48. 
49. S = 5 · 7 – 3·5/2 – 3·5/2 = 35 – 7,5 – 7,5 = 20 (кл)
50. Трапеция
51. 
52. S = 9 · 4 – 3·4/2 – 2·4/2 = 36 – 6 – 4 = 26 (кл)
53. Произвольный четырёхугольник
54. 
55. S = 6 · 8 – 1·6/2 – 2·5/2 – 1·2 = 48 – 3 – 5 – 2 = 38 (кл)
56. Вывод: Площадь любого четырёхугольника можно найти с помощью данного алгоритма.
58. Заключение
59. Выделяем следствия:
60. • Данный алгоритм можно использовать для нахождения площади прямоугольников с «окошками». [2]
61. 
62. S = 5 · 8 – 4 · 2 = 40 – 8 = 32 (кл)
63. 
64. S = 6 · 6 – 2 · 2 – 2 · 2 = 28 (кл)
65. 
66. S = 6 · 6 – 4 · 2 – 4 · 2 = 20 (кл)
67. 
68. S = 7 · 4 – 2 · 5 – 1 · 1 = 17 (кл)
69. 
70. S = 6 · 6 – 2 · 2 · 4 = 36 – 16 = 20 (кл)
71. • Данный алгоритм можно использовать для нахождения площади фигур, состоящих из прямоугольника, круга.
72. 
73. π ≈ 3
74. S = 7 · 4 – πR² = 28 – 3 · 2² = 28 – 12 = 16 (кл)
75. Вывод: Площадь четырёхугольника можно найти, используя данный алгоритм.
76. Выводы
77. Мы убедились, что площадь любого прямоугольного треугольника, остроугольного треугольника, тупоугольного треугольника можно найти, используя алгоритм:
78. - смоделировать на базе данного многоугольника целесообразный прямоугольник;
79. - выделить части многоугольника;
80. - составить выражение для нахождения площади фигуры, используя правила нахождения площадей прямоугольника и прямоугольного треугольного.
81. Полученный результат подтверждает, что цель работы достигнута.
88. Список литературы:

1. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Позняк, И. И. Юдина. «Геометрия, 7 – 9 класс». Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2004.
2. А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. «Геометрия, 7 – 9 класс». М.: Просвещение, 1992.
3. Е. М. Рабинович. «Задачи и упражнения на готовых чертежах. Геометрия 7 – 9 класс». М.: Илекса, 2007.

2