Программа элективного курса «Решение задач с параметрами»

Министерство образования и науки Мурманской области

Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования Мурманской области «Институт развития образования»

Программа элективного курса по математике

«Решение задач с параметрами»

Возраст учащихся: 10 – 11 классы

Срок реализации: 2 года

г. Мурманск, 2016 год

Разработчик:

Кришталь Е.Н., учитель математики МБОУ г.Мурманска «Лицей № 2»

Рецензент:

Алёхина О.И., методист ГИМЦ РО

Пояснительная записка

Программа элективного курса «Решение задач с параметрами» разработана для классов естественно-математического, социально-экономического профилей в старшей школе и предназначена для организации систематического изучения вопросов, связанных с параметром.

удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и способностей учащихся, их профессиональных интересов и углубление знаний по данной теме.

Цель программы: углубление знаний по теме «Задачи с параметрами».

Задачи программы:

• удовлетворение индивидуальных потребностей учащихся в интеллектуальном развитии;

• развитие мотивации учащихся к интеллектуальной деятельности;

• формирование активной, самостоятельной личности.

Форма реализации программы: программа может быть реализована в следующих формах:

• очная;

• очно-заочная, в том числе с использованием дистанционных технологий.

Объем программы: 68 календарных часов, в том числе:

• при очной организации – 68 календарных часов;

• при очно-заочной организации – 68 календарных часов, в том числе 48 аудиторных и 20 часов с использованием дистанционных технологий.

Форма проведения учебных аудиторных занятий – групповая.

В данном курсе предложен подход к задачам с параметрами, основанный на простых общематематических понятиях и доступный обычному школьнику. Он может служить основой для изучения задач с параметрами в школьном курсе математики.

В процессе изучения элективного курса учащиеся познакомятся с различными методами решения задач с параметрами. Старшеклассники, изучившие данный материал, смогут реализовать полученные знания и умения на итоговой аттестации по математике в форме ЕГЭ.

Планируемые результаты обучения

Результат обучения выражается в повышении математической культуры, в проявлении умения осуществлять исследовательскую деятельность и применять полученные знания для решения практических задач.

В ходе освоения программы учащийся

Узнает (поймёт) значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки; идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики; значение идей, методов и результатов алгебры для построения моделей и описания с помощью них математических задач, а также реальных процессов и ситуаций; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях; роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; вероятностный характер различных процессов; роль функционально-графических и аналитических методов для решения различных классов как математических, так и прикладных задач.

2. Научится решать уравнения, неравенства и системы уравнений с параметрами, алгебраическими методами, с применением графических представлений, свойств функции, производной, а также их комбинаций; проводить преобразования числовых и буквенных выражений, включающих степени, радикалы; применять понятия, связанные с делимостью чисел, при решении математических задач.

3. Овладеет эффективными формами и методами самостоятельной работы и интеллектуальной деятельности, будет готов самостоятельно планировать пути достижения целей, в том числе альтернативные, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.

4. Сможет самостоятельно ставить и формулировать для себя новые задачи в учёбе и познавательной деятельности, развивать мотивы и интересы своей познавательной деятельности.

В результате изучения курса учащиеся приобретут умения:

• анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений и неравенств с параметром;

• применять свойства функций для построения графиков и решения уравнений и неравенств с параметром;

• строить и читать графики функций;

• логически мыслить, рассуждать, выдвигать гипотезы, делать выводы, обосновывать полученные результаты;

• отстаивать своё мнение по выбору способа решения нестандартных задач с параметром;

• работать с различными источниками информации.

Элективный курс продолжительностью 68 часов рассчитан на учащихся 10–11–х классов, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к предмету, и желающих овладеть различными умениями, навыками и приемами для решения математических задач с параметром.

В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий.

Основные формы учебных занятий: лекция, объяснение, беседа, практическая работа, семинар. Разнообразный дидактический материал даёт возможность отбирать дополнительные задания.

Учебно-методический комплект

Программно- методическое обеспечение элективного курса включает в себя: 

• программу курса; 

• базовый набор дидактических материалов по темам курса;

• комплект проверочных работ (с ответами) по всем темам курса;

• информационно-содержательную основу реализуемого курса (список литературы).

Учебный процесс может поддерживаться различными учебными пособиями по курсу «Решение задач с параметрами», учебно–методическим комплектом для учителя и конспект–тетрадью для учащихся. 

Следует отметить, что в рамках технологической поддержки (УМК) курса большая роль отводится разным методическим конструкциям использования современных телекоммуникационных технологий, предлагаются видео–уроки, проекты, презентации. 

Материально-техническое обеспечение

1. Информационные образовательные ресурсы:

• http://reshuege.ru/

• http://alexlarin.net/

• http://www.ctege.info/

• http://ege-ok.ru/

• http://ege-study.ru/c5-zadachi-s-parametrami/

• http://infourok.ru/

1. Техническое оборудование:

• интерактивная доска,

• медиапроектор,

• мобильный компьютерный класс (10 ноутбуков + 1 учительский ноутбук с выходом в интернет Wi-fi).

Целью аттестации по данному элективному курсу является констатация личных достижений учащихся по освоению содержания, а также качественная оценка самостоятельно выполненных проверочных работ и итоговой работы. Если учащийся освоил теоретический материал курса, принял активное участие в практикумах и семинарах, успешно выполнил проверочные и итоговую работу, то он получает зачёт. В противном случае учащийся получает незачёт.

Содержание курса

1. Основные понятия. Уравнения с параметром. (6 часов)

Определение параметра. Примеры решения уравнений с параметром. Знакомство со способами решения уравнений с параметром (аналитическим, функциональным и функционально–графическим), рассмотрение общих схем и закономерностей в поиске решений. Систематизация задач по типу ограничений, накладываемых на параметр.

1. Неравенства с параметром. (6 часов)

Примеры решения неравенств с параметром. Знакомство со способами решения неравенств с параметром (аналитическим, функциональным и функционально–графическим), рассмотрение общих схем и закономерностей в поиске решений.

1. Графическая интерпретация задач с параметром. (14 часов)

Построение графического образа на координатной плоскости (хОу) и на плоскости (хОа). Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений. Сравнительный анализ аналитического, функционально–графического способов при решении уравнений и неравенств с параметром.

1. Задачи с параметром. (24 часа)

Приемы решения рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем с параметром. Рассмотрение уравнений и неравенств, содержащих различные функции. Выбор оптимального метода решения.

1. Задачи единого государственного экзамена. (18 часов)

Практикум по решению задач, относящихся к группе «С», входящих в контрольно измерительные материалы ЕГЭ прошлых лет. Анализ методов решения заданий. Нетрадиционные задачи с параметром. Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. От общего к частному и обратно.

Учебно-тематическое планирование

Проверочные работы

Проверочная работа № 1 по теме

«Основные понятия. Уравнения и неравенства с параметром»

1. Решить уравнение:

1. Решить неравенство:

1. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет единственный корень.

Ответы к работе:

1. Решить уравнение:

1. Если , то . Если , то или .

2. Если , то . Если , то .

3. Если , то . Если , то . При корней нет.

4. Если , то . Если , то .

При корней нет.

1. Решить неравенство:

1. Если , то .

Если , то .

1. Если , то – любое. Если , то .

1. Уравнение имеет единственный корень при .

Проверочная работа № 2 по теме

«Графическая интерпретация задач с параметром»

1. Дано уравнение

1. Решите уравнение аналитически.

2. Проверьте ответ с помощью геометрической интерпретации с использованием плоскости «переменная – значение».

3. Проверьте ответ с помощью геометрической интерпретации с использованием плоскости «переменная – параметр».

1. Дано неравенство

1. Решите неравенство аналитически.

2. Проверьте ответ с помощью геометрической интерпретации с использованием плоскости «переменная – значение».

3. Проверьте ответ с помощью геометрической интерпретации с использованием плоскости «переменная – параметр».

1. Найдите все значения , при которых уравнение

имеет единственный корень.

1. Решите с использованием плоскости «переменная – значение».

2. Решите с использованием плоскости «переменная – параметр».

3. Проверьте решение аналитически.

Ответы к работе:

2. Если , то . Если , то .

3. Если решение неравенства имеет вид:

Если неравенство решения не имеет.

Проверочная работа № 3 по теме

«Задачи с параметром»

1. Найти все значения параметра a, для каждого из которых существует только одно значение , удовлетворяющее системе:

2. Решить уравнение:

1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение

имеет единственное решение на отрезке

1. При каких значениях параметра а каждое решение неравенства является решением неравенства ?

2. При каких значениях параметра а система имеет два различных решения?

Ответы к работе:

2. Решить уравнение:

1. Если , то

Если , то

Итоговая работа

1. Най­ди­те все зна­че­ния параметра а, при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее значе­ние функ­ции   на мно­же­стве   не менее 6.

2. Най­ди­те все зна­че­ния параметра а,  при ко­то­рых система имеет ровно одно решение.

3. Най­ди­те все зна­че­ния параметра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

4. Най­ди­те все зна­че­ния параметра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние на про­ме­жут­ке   имеет более двух кор­ней.

5. Най­ди­те все зна­че­ния параметра а, при ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно два ре­ше­ния.

Ответы к итоговой работе:

Дидактический материал

Тема «Основные понятия. Уравнения и неравенства с параметром»

1. Най­ди­те все зна­че­ния , при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ный ко­рень.

Ответ: .

1. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра , при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния.

Ответ: 

1. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра  при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Най­ди­те это ре­ше­ние для каж­до­го зна­че­ния .

Ответ: при   един­ствен­ное ре­ше­ние 

1. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра , при ко­то­рых любое число из от­рез­ка

яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния

 Ответ: a ≥ 1.

1. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра  при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния.

Ответ:  

Тема «Графическая интерпретация задач с параметром»

1. Для каждого параметра определить количество корней уравнения

Ответ:

• решений нет

• одно решение

• два решения

• при одно решение

• решений нет

1. Для каждого параметра найти корни уравнения .

Ответ: одно решение . При других значениях корней нет.

1. Для каждого параметра найти корни уравнения .

Ответ: одно решение . При других значениях корней нет.

1. Для каждого параметра найти корни уравнения .

Ответ:

• одно решение

• три решения

• два решения

• одно решение

1. Для каждого параметра найти корни уравнения

Ответ:

• одно решение

• одно решение

• два решения

• при других значениях корней нет.

Тема «Задачи с параметром»

1. Най­ти все зна­че­ния па­ра­мет­ра , при каж­дом из ко­то­рых мно­же­ство значе­ний функ­ции  со­дер­жит от­ре­зок 

Ответ:

1. Най­ти все зна­че­ния , при каж­дом из ко­то­рых функ­ция 

  имеет более двух точек экс­тре­му­ма.

Ответ:

1. Найт­­и все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра , при каж­дом из ко­то­рых уравнение   не имеет ре­ше­ний.

Ответ:

1. Най­ти все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра , при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние  имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Ответ:

1. Най­­ти все зна­че­ния , при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния.

Ответ:

Литература:

1. Материалы курса «Как научить решать задачи с параметрами» — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2014. — 80 с.

2. Локоть В.В. Задачи с параметрами и их решения: Тригонометрия: уравнения, неравенства, системы. 10 класс. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: АРКТИ. 2004. – 64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

3. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы. — М.: АРКТИ,2004. — 96 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

4. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы Учебное пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: АРКТИ, 2005. - 96 с. (Абитуриент).

5. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств. — М.: АРКТИ, 2010. — 64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

6. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. — М.: АРКТИ, 2010. — 64 с. (Абитуриент: Готовимся к ЕГЭ).

7. Материалы сайта «РЕШУ ЕГЭ»: математика http://reshuege.ru/

8. Материалы сайта http://alexlarin.net/

16