Простейшие вероятностные задачи

Конспект урока "Простейшие вероятностные задачи"

Цели урока: рассмотреть простейшие понятия теории вероятностей.

Задачи урока:

образовательные: научить в процессе реальной ситуации определять достоверные, невозможные, равновероятностные, совместные и несовместные события; научить решать задачи из жизни;

воспитательные: воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие,  настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.

развивающие: развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Материал урока

Из курса алгебры 9 класса вам известен самый простой способ отыскания вероятности случайного события, который даёт классическое определение вероятности.

Определение.

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Исходя из определения, можно сформулировать алгоритм нахождения вероятностей случайного события:

Практически всегда при решении задач практического содержания мы прибегаем к построению математической модели.

Вспомним эксперименты с подбрасыванием монеты.

Например, английский математик Карл Пирсон бросал монету 24 тысячи раз, и p = 0,5005.

А наш соотечественник, Всеволод Иванович Романовский, подбрасывая монету 80 тысяч 640 раз, нашёл, что p = 0,4923.

Ну, а если находить вероятность выпадения орла классическим способом. То мы получим одну вторую.

В данном случае мы предполагаем, что монета имеет правильную геометрическую форму. Поэтому шансы выпадения орла или решки одинаковы.

Эти примеры позволяют увидеть, что в отличие от статистической обработки данных, работающей с конкретными данными, полученными в ходе измерений, теория вероятностей имеет дело с некоторыми идеальными представлениями о реальных событиях.

Решим задачу.

В связке шаров 14 красных, 13 синих, 11 зелёных и 10 жёлтых. Лента одного шарика развязалась, и он улетел. Какова вероятность того, что улетел: красный шар; зелёный или синий; красный, зелёный или жёлтый.

В каждом случае возможно 48 исходов.

Найдём вероятность того, что улетел красный шар. Число исходов, в которых произойдёт рассматриваемое событие, равно 14. Тогда вероятность данного события равна:

Найдём вероятность события «улетел зелёный или синий шар».

Найдём вероятность того, что улетел красный, зелёный или жёлтый шар.

При подсчёте вероятностей иногда удобно использовать правило умножения:

Для того чтобы найти число всех равновозможных исходов независимого проведения двух испытаний А и Б, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания Б.

Решим задачу.

Игральный кубик подбрасывают 2 раза и находят сумму выпавших очков. Необходимо найти вероятности того, что сумма: равна 6; меньше 2; больше 1; меньше 11.

При подбрасывании  каждого кубика возможно 6 различных исходов. Значит, число всех возможных исходов при двукратном подбрасывании кубика равно 36.

Определим вероятность того, что полученная сумма равна 6.

Перечислим все исходы, когда произойдёт интересующее нас событие. 6 в сумме дают следующие пары: 1 5, 5 1, 2 4, 4 2 и 3 3. Получаем 5 таких исходов.

Найдём искомую вероятность.

Следующее событие «сумма очков меньше 2». Наименьшая сумма очков равна двум. И никак не может быть меньше.

Значит, вероятность данного события равна нулю.

Говоря о следующем событие, когда сумма больше одного, можно заметить что при любом исходе оно произойдёт. Ведь наименьшая сумма очков равна двум.

Получим, что вероятность этого события равна одному.

Рассмотрим последнее событие «сумма очков меньше одиннадцати».

Перечислить исходы, когда оно произойдёт достаточно сложно. Проще сказать, когда оно не произойдёт. Таких исхода три — случаи, когда сумма больше либо равна одиннадцати.

Если наше событие не произойдёт при трёх исходах, значит, оно случиться при всех остальных тридцати трёх.

Вероятность рассматриваемого события равна:

Определение.

Событие, вероятность которого равна нулю, называют невозможным, оно не наступает никогда.

Определение.

Достоверное – событие, вероятность которого всегда равна одному. Это событие обязательно наступает при любом из исходов.

Сумма вероятностей противоположных событий равна одному.

Решим ещё одну задачу.

Ученику предложили записать на доске любое натуральное число от ста до двухсот, не включая 100 и 200. Найдём вероятность того, что:

это число нечётно; среди цифр этого числа есть 3; это число не является кубом целого числа; сумма его цифр больше трёх.

Для начала определим число всех возможных исходов. Всего 99 чисел больших ста и меньших двухсот.

Среди них чётных — 49. А нечётных — 50. Вероятность того, что записанное число нечётно, равна:

Найдём вероятность того, что это число содержит цифру 3.

Можно перечислить все числа из этого промежутка, содержащие цифру 3. Таких чисел 19.

Вероятность того, что записанное число будет содержать цифру 3, равна:

Рассмотрим событие «записанное число не является кубом целого числа». Среди всех возможных исходов есть только одно число, которое является кубом целого числа. Это число 125.

Рассмотрим противоположное событие «записанное число является кубом целого числа» и вычислим его вероятность. Она равна:

По формуле, связывающей вероятности противоположных событий, найдём:

И последнее событие, которое мы рассмотрим — это «сумма цифр записанного числа больше трёх».

Перейдём к противоположному событию, то есть «сумма цифр числа меньше либо равна трём». Число исходов, в которых оно наступает равно пяти.

Вероятность противоположного события равна:

Тогда вероятность события Г равна:

Итоги урока:

Мы с вами решили несколько задач, где применили определение вероятности случайного события, а также правило умножения.

Повторили, какие события называют невозможными и достоверными, и чему равны их вероятности.

А также узнали, что:

Вы видите, что перечисление всех возможных вариантов и вариантов, в которых происходит то или иное событие, достаточно трудоёмкий процесс.

Для произведения таких подсчётов обычно применяют инструменты комбинаторики.

О них то мы и поговорим на следующем уроке.

Задания для работы в группах

1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий - кому начинать игру.

Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

2. Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того,

что выпало число очков, больше чем 4?

3. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите

вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

4. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова

вероятность того, что орел выпал ровно два раза?

5. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из

Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5- из

Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется

жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает

последним, окажется из Швеции.

6. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7

из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают

гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что

спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок

приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность

того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Проверка и оценивание: Отчет групп о проделанной работе. Самооценивание выполненных заданий по принципу:

- я понял решение

- я смогу выполнить такие задания самостоятельно

- я смогу решить такие задания на экзамене

Рефлексия деятельности на уроке.

Итоги урока        

Ученики проговаривают, что нового узнали на уроке. Учитель оценивает работу ребят.

Домашнее задание:

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

2. При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

3.Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

4. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 спортсменов из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

5. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по теме "Неравенства". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Неравенства".

6.В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

7.У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.