Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
«Урахинская СОШ» с.Урахи Сергокалинский район
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/02/19/s_5c6c4cbf4167b/1093633_1.png)
![](https://fsd.multiurok.ru/html/2019/02/19/s_5c6c4cbf4167b/1093633_2.png)
10 класс
Провела : учитель математики МКОУ
«Урахинская СОШ» Карачева П.А.
Урахи
2018-19 учебный год
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО АЛГЕБРЕ "РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ" 10 КЛАСС
Цели и задачи урока.
Образовательные: 1. сформировать у учащихся умений решать однородные тригонометрические уравнения;
2. отработать навыки решения всех видов тригонометрических уравнений.
Развивающие: 1. развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации;
2.развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.
Воспитательные: Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.
Оборудование урока:
1. Компьютер, проектор, экран, тетради;
2. чистые листы для самостоятельной работы;
3. таблицы по тригонометрии:
а) значения тригонометрических функций;
б) решение тригонометрических уравнений (частные случаи);
в) основные формулы тригонометрии.
Содержание урока.
I. Организационный момент.
Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами.
Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность. Вот он что – то сделал, и сделала неплохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать сделать по -другому? А что будет, если… А быть может, вот так… А нельзя ли этот способ, метод решения применить в других обстоятельствах?
1. Устный опрос
Решите уравнение
sin x=-1
cos x=1/2
tg x=-1
sin 2x=-1/2
cos x=-1 /2
tg 2x=4
sin x=-2
2. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала
3. Перед вами уравнения:
В течение двух минут распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу (в таблицу занести букву под которой стоит уравнение):
Простейшее тригон-ское | Замена переменной | Разложение на множители | ??? |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
1) 2sinx cos 5x – cos 5x =0;
2) sin (π+x)=0
3)3tg 2 x + 2tg x -1=0
4) 2 cos2 x + 9cos x +14=0;
5) sin 2х = -1
6)2sinx – 3cosx = 0
7) cos 3x = 0;
8) cos (х – π/4) = ½;
9) sin (x/2+ π /3)= -1/2.
10) 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0
11)√3tg2x + 1 = 0
12) 3cos2x – sinx – 1 =0
13) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0
Вспомним решения 1),12),11)
а) √3tg2x + 1 = 0
√3tg2x = – 1
tg2x = – 1/√3
2x = arctg (– 1/√3) + πn, n € Z
2x = – π/6 + πn, n € Z
x = – π/12 + πn/2, n € Z
б)
в) 3cos2x – sinx – 1 =0
3 (1 – sin2x) – sinx –1 = 0
3 – 3 sin2x – sinx –1 = 0
– 3 sin2x – sinx + 2 = 0
3 sin2x + sinx – 2 = 0
Пусть sinx = y
3y2 + y – 2 = 0 D = b2 – 4ac = 1 – 4∙3∙(–2) = 25
y1,2 = (– 1 ± 5)/6 = 2/3; – 1
sinx = 2/3 или sinx = – 1
x = (– 1)n arcsin(2/3) + πn, n € Z x = – π/2+ 2πk, k € Z
Ответ: (– 1)n arcsin(2/3) + πn; x = – π/2+ 2πk, n, k € Z
III. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений
2sinx – 3cosx = 0
3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0
IV. Усвоение новых знаний
Задача: дать учащимся понятие однородных тригонометрических уравнений, разобрать способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решений.
Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске:
«Это однородные тригонометрические уравнения», и предлагает учащимся записать тему урока: «Решение однородных тригонометрических уравнений».
Учитель вывешивает плакат, на котором написано определение однородных тригонометрических уравнений вида:
asinx + bcosx = 0, a,b ≠ 0 и
asin2x + bsinxcosx + kcos2x = 0, a,b,k ≠ 0
Учитель: Уравнения такого вида можно решать делением на старшую степень синуса или косинуса. При этом мы не теряем корней, т.к. мы в уравнение подставим cosx = 0 , то получим, что sinx = 0, а это невозможно (косинус и синус не могут одновременно равняться нулю).
Итак, рассмотрим решение уравнения:
а) 2sinx – 3cosx = 0, cosx ≠ 0
2sinx | – | 3cosx | = | 0 |
cosx | cosx | cosx |
2tgx – 3 = 0
2tgx = 3
tgx = 1,5
Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z
б) 3sin2x – 4sinxcosx + cos2x = 0
Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе.
Вопрос учителя: Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?
Ответ: Да, каждый.
Вопрос учителя: Какой мы можем сделать вывод?
Ответ: Это уравнение однородное.
Вопрос учителя: Как мы решаем такое уравнение?
Ответ: Мы делим обе части уравнения на cos2x ≠ 0, т.к. sinx и cosx одновременно нулю равняться не могут.
3sin2x | – | 4sinxcosx | + | cos2x | = 0 |
cos2x | cos2x | cos2x |
3tg2x – 4tgx + 1 = 0
Учитель предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение. Желающие выходят к доске, на местах решают в тетрадях.
Решение: пусть tgx = y
3y2 – 4y + 1 = 0
D = 16 – 4·3·1 = 4
y1,2 = (4 ± 2)/6 = 1; 1/3
tgx = 1 или tgx = 1/3
x = π/4 + πn, n € Z x = arctg(1/3) + πk, k € Z
V. Проверка понимания учащимися нового материала.
Задача: выяснить, усвоен ли учащимися способ решения уравнений нового вида.
На доске записаны уравнения.
Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.
1. sinx = 2cosx – однородное
2. √3sin3x – cos3x = 0 – однородное
3. sin2x – 2sinx – 3 = 0 – квадратное
4. 2cos2x + 3sin2x + 2cosx = 0 – квадратное
5. 6sin2x – cos2x – 5sinxcosx = 0 – однородное
Учащиеся должны назвать вид уравнения и объяснить, как его можно решить.
VI. Закрепление нового материала.
Задача: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.
Учитель предлагает учащимся решить на доске уравнения под цифрами 2 и 5. по вызову учителя двое учащихся выходят к доске.
2) √3sin3x – cos3x = 0,
cosx ≠ 0
√3tg3x – 1 = 0
√3tg3x = 1
tg3x = 1/√3
3x = arctg(1/√3) + πn, n € Z
3x = π/6 + πn, n € Z
x = π/18 + πn/3, n € Z
5) 6sin2x – cos2x – 5sinxcosx = 0
cos2x ≠ 0
6tg2x – 1 – 5tgx = 0
Пусть tg x = y
6y2 – 1 – y = 0
D = 25 – 4·6· (–1) = 49
y1,2 = (5 ± 7)/12 = 1; –1/6
tgx = 1 или tgx = –1/6
x = π/4 + πn, n € Z x = arctg(–1/6) + πk, k € Z
Ответ: π/4 + πn; arctg(–1/6) + πk, n,k € Z
Решить по учебнику №18.11(а),в
№18.12 в
VII. Проверка усвоения нового материала.
Задача: проверить знания учащихся при решении уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю
Самостоятельная работа
Вариант 1 | Вариант 2 |
√3cos2x + sin2x = 0 cos2x ≠ 0 √3 + tg2x = 0 tg2x = – √3 2x = – π/3 + πn, n € Z x = – π/6 + πn/2, n € Z | √3 sin5x + cos5x = 0 cos5x ≠ 0 √3tg5x + 1 = 0 tg5x = – 1/√3 5x = arctg(– 1/√3) + πn, n € Z 5x =– π/6 + πn, n € Z x =– π/30 + πn/5, n € Z |
По истечении времени я предлагаю учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их, записать на листках фамилию проверяющего.
Домашнее задание №18.11 б,г,18.12 (а)
К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений , почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.
«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.
Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.
И да поможет вам Математика!
IX. Итог урока:
Вопрос учителя: С каким видом уравнений познакомились?
Ответ: С однородными.
Вопрос учителя: Как решаются эти уравнения?
Ответ: Делением на cosx ≠ 0 или sinx ≠ 0
Вопрос учителя: Что имеем после деления?
Ответ: Уравнение первой или второй степени, которые мы умеем решать.