Решение уравнений в целых числах

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г.Стерлитамак

Республики Башкортостан МАОУ «Гимназия№6»

Исследовательская работа

«Решение уравнений в целых числах»

Выполнила:

Чигинцева Виктория, 10 класс

Научный руководитель:

Кузнецова Л.В. , учитель математики

высшей категории

г.Стерлитамак, 2017

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….

Глава I. Историческая справка………………………………………………….

Глава II. Общие сведения о решении уравнений в целых числах…………

2.1 Применение теории делимости к решению неопределенных

уравнений в целых числах …………………………………………………….

2.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах……………………

Глава III. Применение способов решения уравнений……………………

1. Алгоритм Евклида………………………………………………………

2. Способ перебора вариантов…………………………………………………

3.3. Метод разложения на множители…………………………………………

3.4 Метод остатков………………………………………………………………

3.5. Задачи экзаменационного уровня …………………………………………

Заключение…………………………………………………………………………

Литература………..……………………………………………………………….

Введение

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век), Ж.Л.Лагранж(XVIII век), П.Дирихле(XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность нашей работы «Решение уравнений в целых числах»

Мы обратились к этой теме, так как она недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Кроме того решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ.

Безусловно, тема решения уравнений в целых числах была, есть и будет актуальна. Это и без слов понятно. Недаром ей занимались с самого за­рождения математики.

Теория решения подобных уравнений является классическим разделом элементарной математики. В ней не приходится писать сложные и громозд­кие формулы, а необходимо проводить аккуратные рассуждения, базирую­щиеся на определенных понятиях теории чисел и связанные в стройную логическую конструкцию. В рамках это теории можно дать исчерпывающее решение рассматриваемого класса задач с четко описанным алгоритмом по­лучения ответа.

Проблема: Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения.

Цель: Освоить способ решения уравнений с двумя неизвестными пер­вой и второй степени в целых числах.

Задачи:

1. Изучить учебную и справочную литературу;

2. Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

3. Разобрать алгоритм решения уравнений данного вид;

4. Описать способ решения.

5. Рассмотреть ряд примеров с применением данного приема.

6. Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из мате­риалов ЕГЭ С6.

Объект исследования: Решение уравнений

Предмет исследования: Уравнения с двумя переменными в целых числах.

Гипотеза: Данная тема имеет большое прикладное значение. В школь­ном курсе математики подробно изучаются уравнения с одной переменной и различные способы их решения. Потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие уравнения с двумя пере­менными. Поэтому повышенное внимание к этой теме не только оправдано, но и является актуальной в школьном курсе математики.

Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и всту­пительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научится решать уравнения такого вида.

Глава I. Историческая справка

Диофант Александрийский - древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры.

О подробностях его жизни практически ничего неизвестно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), - откуда мож­но сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Воз­можное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий - не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года:

Прах Диофанта гробница покоит, дивись ей и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Используя современные методы решения уравнений, можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант. Составим и решим уравнение:

Решением этого уравнения является число 84. Таким образом, Диофант прожил 84 года. Однако достоверность сведений не может быть подтвержде­на.

Основное произведение Диофанта - Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны ис пользуемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ápιθμός) и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной символом (сокращение от δύναμις — «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо- кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффици­ент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнуто буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ϊσ (сокращение от ϊσος -«равный»). Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило использует­ся при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Большая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранив­шихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации об­щих методов. Главная проблематика Арифметики нахождение положи­тельных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решении, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследо­вания Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Ра­фаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появилася классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметиуи, выполненный Баше де Мезириаком.

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст еще 4 книг Арифметики. И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что их автором был не Диофант, а хорошо разбирав­шийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего — Гипатия.

Глава II. Общие сведения о решении уравнений в целых числах

2.1. Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c, где а, b, c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

(Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Пример.

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решение.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + bу = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в.

Пример.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

Решение.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

т.е. х= 5, у= -2 - решение данного уравнения.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Пример.

Найти целое решение уравнения 16х - 34у = 7.

Решение.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d1 и сd, то оно равносильно уравнению ах + bу = с, в котором НОД(а, b) = 1.

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = хс + bt, у = yc-at, где х, y - целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ bу = с НОД(а, b) = 1:

1. Находится целое решение уравнения ах + bу = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);

2. Составляется общая формула целых решений данного уравнения х = хс + bt, у = yc - at, где х, y - целое решение уравнения ах + bу = 1, t – любое целое число.

Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т.д.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Алгоритм Евклида.

2. Способ перебора вариантов.

3. Метод разложения на множители

4. Цепные дроби.

5. Метод остатков.

6. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.

7. Meтод бесконечного спуска.

2.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах

Алгоритм решения в целых числах уравнения вида

1. Найти наибольший общий делитель чисел и , если и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет;

если , то

1. Разделить почленно уравнение на d, получив при этом урав­нение , в котором .

2. Найти целое решение уравнения путем представле­ния 1 как линейной комбинации чисел и ;

3. Составить общую формулу целых решений данного уравнения

где -целое решение уравнения , - любое целое число.

Глава III. Применение способов решения уравнений

3.1. Алгоритм Евклида

Задача 1.Решить уравнение в целых числах 407х -2816у 33.

Воспользуемся составленным алгоритмом.

1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:

2816 = 407*6 + 374;

407 = 374*1 + 33;

374=33*11+11;

33 = 11*3

Следовательно (407,2816)=11, причем 33 делится на 11

1. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение , причем (37,256)=1

2. С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представлена числа 1 через числа 37 и 256.

256=37*6+34;

37=34*1+3;

34=3*11+1

Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.

1=34-3*11=34-(37-34*1)*11=34*12-37*11=(256-37*6)*12-37*11=-83*37-256*(-12)

Таким образом, 37*(-83)-256*(-12)=1, следовательно пара чисел есть решение уравнения

1. Запишем общую формулу решений первоначального уравнения

Где -любое целое число.

3.2 Способ перебора вариантов

Задача 2. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?

Решение: Составляется уравнение с двумя неизвестными переменны­ми, в котором х - число кроликов, у - число фазанов:

4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Выразим у через x:у = 9 - 2х.

Далее воспользуемся методом перебора:

Таким образом, задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2;5), (3;3), (4;1).

Задача. В загоне находятся одноглавые сороконожки и трехглавые змеи. Всего у них 298 ног и 26 голов. Сколько ног у трехглавых змей?

1. Обозначим за «х» сороконожек, а за «у» трехглавых змей, тогда голов 3у + х = 26.

2. Обозначим за «z» количество ног у одного змея, тогда ног уz + 40х = 298.

3. Имеем систему уравнений:

Ответ: у трехглавого змея 14 ног.

1. Метод разложения на множители

Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если урав­нение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких реше­ний бесконечное множество. Поэтому покажем еще один прием - метод раз­ложения на множители

1. Вынесение множителя за скобку;

2. Использование формул сокращённого умножения;

3. Способ группировки;

4. Предварительное преобразование.

Задача 3.Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению .

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1,3,23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1*69 и 69=3*23. Учитывая, что , полу­чим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые чис­ла:

Первая система имеет решение = 35; = 34, а вторая система имее решение

Ответ: (35;34),(13;10).

Задача 4. Решить уравнение в целых числах у³ - х³ = 91.

Решение:

1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(1)

2) Выпишем все делители числа 91 :± 1; ± 7; ± 13; ± 91.

3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых х и у число

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть по­ложительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем урав­нении:

4)Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6;-5); третья(-3;4), (-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6;-5); (-3; 4);(-4;3).

Задача 5. Решить уравнение в целых числах:

Решение. Запишем уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух слу­чаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет реше­ние х=0, у=0.

Ответ: (2,2), (0;0).

Задача 6. Решить в целых числах уравнение

Решение. Запишем данное уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители способом группиров­ки, получим

Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях: 7=1*7=7*1=-1*(-7)=-7*(-1). Таким образом, получим четыре системы:

Решением первой системы является пара чисел х = -5, у = - 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением явля­ются числа х =5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = -13, у =-6.

Ответ: (-5;-6), (13;6), (5;6), (-13;-6).

Задача 7. Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Решение.

1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе час­ти уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

(2)

1. Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Задача 8. Решить уравнение: х² - у² =3 в целых числах.

Решение:

1. Применим формулу сокращенного умножения

2. Найдем делители числа

3.Данное уравнение равносильно совокупности 4 систем

Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2;-1).

3.4 Метод остатков

Задача 9. Решить уравнение: х²+ху=10

Решение:

Выразим переменную у через x:

1. Дробь будет целой, если

2. Найдем 8 значений .

Если

Задача 10. Решить уравнение в целых числах:

Решение: выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени - в данном случае у :

Выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочле­на на многочлен «углом» Получим:

Следовательно, разность 2x-1 может принимать только значения -3, -1, 1, 3.

Осталось перебрать эти четыре случая.

Ответ: (1;9), (2;8), (0,2), (-1,3)

3.5. Задачи экзаменационного уровня

Рассмотрев несколько способов решения уравнений первой степени с

двумя переменными в целых числах, мы заметили, что чаще всего применя­ются метод разложения на множители и метод остатков.

Уравнения, которые даны в вариантах ЕГЭ, в основном решаются ме­тодом остатков.

1. Решить в натуральных числах уравнение: где

Решение:

Выразим переменную п через переменную т :

Найдем делитель числа 625:

1. если m-25=1, то m=26, n=25+625=650

2. m-25=5, то m=30, n=150

3. m-25=25, то m=50, n=150

4. m-25=125, то m=150, n=30

5. m-25=625, то m=650, n=26

Ответ: m=150 , n=30

m=650,n=26

2.Решите уравнение в натуральных числах: mn+25=4m

Решение: mn+25=4m

1. выразим переменную m через n:

1. найдем натуральные делители числа 25:

если 4-n=1, то n=3, m=25

4-n=5, то n=-1, m=5 (посторонние корни, т.к не натуральное число)

4-n=25, то n=-21, m=1 (посторонние корни, т.к не натуральное число)

Ответ: (25;3)

3.Найдите все пары (x;y) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

Решение: Выделяя полные квадраты, получим:

Из первого и второго неравенства системы:

Подставляем x=12 в систему, получим:

Ответ: (12;-8)

Заключение

В процессе работы над темой «Решение уравнений в целых числах» было замечено множество интереснейших фактов. Решение уравнений в целых числах - очень увлекательная задача. С древнейших времён накопилось множество способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако, только в нашем веке предстали общие приёмы их исследования. Теорема Пифагора и теорема Ферма также являются диофантовым уравнением.

Решение уравнений в целых числах - один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофанто­вых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оста­вили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.

Решение различного вида уравнений является одной из содержатель­ных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах яв­ляется одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, инте­рес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информа­ционных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небе­зинтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в це­лых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто пред­лагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.

В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений.

Литература

1. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой). Москва, «Наука», 1974.

2. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005.

3. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. «Просвещение», Москва, 1991 г.

4. Ляпин С.Е. и др. Сборник задач по элементарной алгебре. Учебное пособие для студентов физико - математических факультетов педагогических институтов. Москва, «Просвещение», 1973 г.

5. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике: Задачи логического характера: Книга для учащихся 5-11 классов. Москва, «Просвещение», 1996 г.

6. Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – Москва: Интеллект – Центр, 2010 г.