Решение задач методом координат на ЕГЭ

а

b

• направляющие

вектора прямых

№ 1. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и В F 1

z

х

у

F 1 (- 1 ; 0; 1 )

• направляющие

вектора прямых

Ответ:

№ 2. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между прямыми PQ и EF , P – середина АА 1, Q – середина С 1 D 1 , Е – середина ВВ 1 , F – середина DC.

z

Q

Р ( 4 ; 0; 2 )

Q (0; 2; 4)

E (4; 4; 2)

E

P

F

F (0; 2; 0)

у

х

Ответ:

№ 3. Ребро куба равно 3. Найдите угол между прямыми AE и BF , если

z

A ( 3 ; 0; 0)

Е ( 2 ; 3 ; 0)

F

В ( 3 ; 3 ; 0)

F ( 1 ; 3 ; 3 )

у

E

х

Ответ:

№ 4. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми A С 1 и С B 1 .

z

С 1

В 1

А 1

С

В

А

у

х

Ответ:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

α - угол между прямой и плоскостью

β

β – угол между прямой и перпендикуляром

к плоскости

α

Чтобы найти синус угла между прямой

и плоскостью можно найти косинус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости

уравнение плоскости

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

№ 1 В единичном кубе найдите угол между прямой A В 1 и плоскостью (А 1 EF ) , где Е – середина В 1 С 1,

A (1; 0; 0)

A 1 (1; 0; 1)

z

B 1 (1; 1; 1)

Е ( 0,5 ; 1 ; 1)

E

1

Запишем уравнение плоскости (А 1 EF ):

у

F

1

1

х

A 1 (1; 0; 1)

Е ( 0,5 ; 1 ; 1)

- уравнение плоскости (А 1 EF ).

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

Ответ:

№ 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите синус угла между прямой A В 1 и плоскостью (АС F 1 ) .

z

Запишем уравнение плоскости (АС F 1 ):

х

у

C ( 1 ; 0;0)

F 1 (- 1 ; 0; 1 )

- уравнение плоскости (АС F 1 ).

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

Ответ:

№ 3. В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите угол между прямой ВЕ, где Е- середина SC и плоскостью (А DS ) .

z

E

Запишем уравнение плоскости (А SD ):

y

х

- уравнение плоскости (А SD ).

- вектор нормали к плоскости

- направляющий вектор прямой

Ответ:

Угол между плоскостями равен углу между

перпендикулярами к этим плоскостям.

Например:

D 1 (0; 0; 1)

A (1; 0; 0)

z

C (0; 1; 0)

D (0; 0; 0)

C 1 (0; 1; 1)

B (1; 1; 0)

Запишем уравнения плоскостей (АС D 1 ) и ( BDC 1 ):

у

х

A (1; 0; 0)

C (0; 1; 0)

D 1 (0; 0; 1)

D (0; 0; 0)

B (1; 1; 0)

C 1 (0; 1; 1)

Ответ:

z

С 1

В 1

А 1

С

Запишем уравнения плоскостей ( А B С 1 ) и (A 1 B 1 C) :

В

А

у

х

Ответ:

z

C (1; 0;0)

х

Запишем уравнения плоскостей ( А 1 BC) и (AA 1 E) :

у

C (1; 0;0)

Ответ:

Литература :

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) 18.02.2011

http://alexlarin.net/ege11.html