Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 9 класс. Ответы

Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике, 9 класс

1. (8б) На участке трамвайного пути длиной в 1 км. пешеход, проходящий этот участок в течение 12 минут, ежедневно подсчитывал число трамваев, его обгоняющих и встречных. В течение года первых оказалось 225, вторых --- 600. Определить скорость трамвая.

2. (2б) Найти два трехзначных числа, зная, что их сумма кратна 498, а частное кратно 5.

3. (6б) Найти все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два - неверны:
а) A делится на 5,
б) A делится на 23,
в) A+7 есть точный квадрат,
г) A-10 есть точный квадрат.

4. (4б) Верно ли, что среди любых 30 различных натуральных чисел, не превосходящих 50, всегда можно выбрать два, одно из которых вдвое больше другого?

5. (3б) Дан угол в 19^о. Построить циркулем угол в 1^о.

Математика, 9 класс

1. Скорость пешехода 5 км./ч. Количество встречных и обгоняющих трамваев пропорционально их скоростям сближения, т.е. v+5 км./ч. и v-5 км./ч. (где v --- скорость движения трамвая). Отсюда получается пропорция:

Следовательно, v=11 км./ч.

2. Эти два числа не могут отличаться в 10 раз, иначе одно из них не трехзначное (значит они отличаются только в 5 раз). Их сумма может равняться: 1) 498, 2) 996, 3) 1494, 4) 1992. Иэ этих вариантов дает трехзначные решения только 2).

Ответ: (166, 830).

3. Нужно перебрать все возможные варианты. Их всего 6: 1) а, б; 2) а, в; 3) а, г; 4) б, в; 5) б,г; 6) в,г. Верны только 3) (ответ --- 35) и 6) (ответ --- 74).

4. Нет, неверно. Можно выписать даже 33 таких числа: 1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 45, 47, 48, 49.

5. Указание: воспользоваться тем, что 19*19=361.