Тема урока: Определение касательной к графику функции. Уравнение касательной.

План урока

Предмет: математика

Преподаватель: Амирханова А. К.

Дата проведения: 01.10.2021

Тема урока: Определение касательной к графику функции. Уравнение касательной.

Тип урока: изучение нового материала

Цели урока (образовательные, развивающие, воспитательные):

• Уточнить понятие «касательной».

• Вывести уравнение касательной.

• Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции

у = f (x)».

• Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

Задачи урока:

• Отработать  умения и навыки  по применению производной;

• Расширять кругозор; развивать математическую речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.

• Развивать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования.

• Развивать  навыки  исследовательской работы.

Используемые педагогические технологии,  методы и приемы: технология развивающего обучения, проблемный метод, контроля и взаимоконтроля, мозговой штурм.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/ приобретут/ закрепят/др. ученики в ходе урока: «Уточняют»  понятие касательной, выводят уравнение касательной, создают алгоритм написания уравнения касательной,  отрабатывают  умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.        

Необходимое оборудование и материалы: Компьютер, презентация,  проектор, интерактивная (или маркерная) доска

Дидактическое обеспечение урока: карточки с памяткой, карточки для рефлексии.

Ход и содержание урока.

Мотивация учащихся Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику функции».  Откройте тетради, запишите  число и тему урока.

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока.

• Плохих идей не бывает

• Мыслите творчески

• Рискуйте

• Не критикуйте

Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал. Внимание на экран.  Решение запишите в тетрадь.

2. Повторение изученного материала   .Цель:  проверить знание основных правил дифференцирования.

Найти производную функции:

1. у =2х¹⁰

2. у=4√х

3. у=7х+4

4. у = tg x + 5х

5. у = х³sin x

6. у = х23-4х

Поменяйтесь тетрадью с соседом, оцените работу. Тест проверяют сами учащимися.

У кого не одной ошибки? У кого одна?

3. Актуализация Цель: Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока.

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?

Давайте рассмотрим конкретные примеры:

Примеры.

1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x² одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида  (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

4.  Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: Попробуйте сами сформулировать цель урока.

Выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, вывести  уравнение касательной. Применять формулу при решении задач

5. Изучение нового материала Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1?

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Примем за определение: касательная это предельное положение секущей.

Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

 Вспомнить общий вид уравнения прямой.( у= кх+b)

Как еще называют число к?  (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох)   к =  tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между  касательной  и положительным направлением оси оХ

Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(а).

Давайте проиллюстрируем это на чертеже.

Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а) ) и пусть существует производная f '(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную.  Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? ( да, k = f '(а).)

Как теперь найти b?  Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) – ka,  т. к. к =  tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f '(а)а

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f '(а)x + f(a) – f '(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(a) + f '(а) · (x-a).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого  элемента  в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом: (слайд 10)

1. (а, f (а) ) – координаты точки касания

2. f '(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент

3. (х,у) – координаты любой точки  касательной

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении, давайте попробуем теперь вывести  алгоритм  составления уравнения касательной к графику функции y = f (x)

6. Составление алгоритма. Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой а.

2. Вычислим f(a).

3. Найдем f '( х) и вычислим f '( а).

4. Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.

5. y = f(a) + f '(а) · (x-a).

(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)

7. Историческая справка   Внимание на экран. Расшифруйте слово

С f(x) = √(3-2х) f '(1) = ?

Я f(x) = 5 / ³√ (3х+2) f '(-1/3) = ?

Ю f(x) = 12 / √ (3х ²+1) f '(1) = ?

Ф f(x) = 4√ (3-2х²) f '(-1) = ?

К f(x) = 2 ctg 2x f '(-π/4) = ?

И f(x) = 4/(2-cos 3x) f '(- π/6) = ?

Л f(x) = tg x f '( π /6 ) = ?

1 4/3 9 -4 -1 -3 5

Ответ: ФЛЮКСИЯ

Какова история происхождения этого названия?

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой.

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница. 

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта.

8. Закрепление.

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой а = -1.

Решение:

Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.

1. а = -1;

2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

3. f '(x) = 2х – 3,
   f '(a) = f '(-1) = -2 – 3 = -5;

4. y = 9 – 5 · (x + 1),

y = 4 – 5x.

Ответ: y = 4 – 5x.

9.Самостоятельная работа Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x)  в точке с абсциссой а.
вариант 1                             вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1                     f(x)= х-3х², а=2

ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

10. Подведение итогов.

• Что называется касательной к графику функции в точке?

• В чём заключается геометрический смысл производной?

• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

Рефлексия деятельности на уроке.