План урока
Предмет: математика
Преподаватель: Амирханова А. К.
Дата проведении:__________
Тема урока: Синус, косинус и тангенс суммы и разности аргументов (обобщенное занятие)
Цель: рассмотреть формулы сложения.
Ход уроков
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Изучение нового материала
Главу начнем с рассмотрения формул для синуса и косинуса суммы и разности аргументов (их также называют формулы сложения). Обратите особое внимание на эти формулы, так как из них достаточно просто могут быть получены практически все формулы тригонометрии.
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1120.jpg)
Пример 1
Получим формулу (4).
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1121.jpg)
В единичной окружности радиус ОР (равный 1) повернем на угол х и на угол у. Получим радиусы ОА и ОВ. Легко записать координаты векторов
Найдем скалярное произведение этих векторов: ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1123.jpg)
С другой стороны,
Поэтому скалярное произведение векторов
можно записать и по-другому: ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1126.jpg)
Сравнивая два полученных выражения для скалярного произведения векторов
, сразу получаем: ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1127.jpg)
Формулы (5)-(7) получаются из формулы (4) с использованием формул приведения и четности функции cos х и нечетности функции sin х.
Пример 2
Получим пятую формулу.
Учтем формулы (7) и (5). Имеем: ![](file:///C:\Users\amirk\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image010.jpg)
В полученной дроби разделим числи тель и знаменатель дроби на cos х cos у. Тогда имеем:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1131.jpg)
Итак, получили
Аналогично выводится и шестая формула.
Теперь рассмотрим применение формул этой группы.
Пример 3
Вычислим cos 15°.
Учтем, что 15 = 45 - 30, и тогда ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1133.jpg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1134.jpg)
Таким образом, приведенные формулы позволяют расширить значения тригонометрических функций, представленных ранее в таблице.
Пример 4
Найдем
если ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1136.jpg)
Используем формулу (6) и получим: ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1137.jpg)
Найдем sin а. Используя формулу (1), получаем: sin2 a + c2 = 1, откуда
(учтено, что
и sin а > 0). Тогда ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1141.jpg)
Пример 5
Докажем неравенство
если ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1143.jpg)
Выпишем очевидные неравенства cos β sin a < sin a (так как cos β < 1) и cos a sin β <sin β (так как cos a < 1). Сложим два неравенства одного знака (при этом получившееся неравенство имеет тот же знак): cos β sin a + cos a sin β < sin a + sin β или по формуле (7) ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1144.jpg)
Пример 6
Известно, что a, β, γ - углы треугольника. Докажем, что ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1145.jpg)
Учитывая, что a, β, γ — углы треугольника, имеем: a + β + γ = 180, откуда γ = 180° - (a + β).
Упростим выражение cos γ: cosy ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1146.jpg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1147.jpg)
Здесь учтено, что cos 180° = -1 и sin 180° = 0 (что видно из единичной окружности). Тогда ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1148.jpg)
Tаким образом, тождество доказано.
Пример 7
В каких пределах находится отношение суммы катетов к гипотенузе в прямоугольном треугольнике?
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1150.jpg)
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ = с и один из острых углов ∠А = а. Тогда через эти величины легко выразить катеты
Найдем отношение суммы катетов к гипотенузе:
Преобразуем выражение x, умножив и разделив его на
Получим: ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1154.jpg)
Здесь при преобразовании выражения х было учтено, что ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1156.jpg)
Так как a – острый угол в треугольнике, то
Прибавим ко всем частям этого неравенства π/4 и получим:
Для удобства обозначим
Тогда необходимо найти диапазон изменения величины ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1160.jpg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1161.jpg)
Диапазон этих углов отмечен на единичной окружности штриховкой (пунктир показывает, что значения углов
не достигаются). Понятно, что наименьшее значение х получается при
и равно ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1164.jpg)
Наибольшее значение x достигается при z = π/2 и равно
Итак, отношение суммы катетов к гипотенузе меняется в пределах ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1166.jpg)
Пример 8
Докажем, что функция у = ctg х убывает на промежутках (πn; π + πn), где n ∈ Z.
Данное утверждение достаточно доказать для промежутка (0; π). Используя определение убывающей функции и функции котангенса, получим: ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1167.jpg)
Определим знак этого выражения. Так как 0 < x1 < х2 < π, то sin x1 > 0 и sin х2 > 0. Поэтому знаменатель дроби положительный. Из неравенства находим -π < x1 - х2 < 0, тогда sin(x1 - х2) < 0. Поэтому дробь отрицательная, т. е. у(х1) - у(х2) < 0 или y(x1) < у(х2). Следовательно, на указанных промежутках функция у = ctg х убывает.
Пример 9
Найдем ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1169.jpg)
Обозначим а = arcsin 1/3, тогда по определению sin a = 1/3 и
Найдем
(учтено, что cos a ≥ 0). Аналогично обозначим β =arcos 2/3, тогда cos β = 2/3 и β ∈ [0; π]. Вычислим ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1172.jpg)
(учтено, что sin β ≥ 0).
Найдем: ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1174.jpg)
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1175.jpg)
Пример 10
Вычислим ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1176.jpg)
Обозначим a = arctg 1/2 (тогда
) и β = arctg 1/3 (тогда
). Найдем сумму углов a + β. Сразу найти такую сумму нельзя. Поэтому вычислим любую тригонометрическую функцию от суммы углов. Проще всего найти тангенс. Учитывая известную формулу, получим:
![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1179.jpg)
Так как tg a > 0 и tg β > 0, то
В промежутке [0; π) уравнение tg(a + β) = 1 имеет единственное решение а + β = π/4. Поэтому ![](https://fsd.multiurok.ru/viewImage.php?image=http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1181.jpg)
III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)
1. Формулы для синуса суммы и разности аргументов.
2. Косинус суммы и разности аргументов.
3. Формулы для тангенса суммы и разности аргументов.
IV. Задание на уроках
§ 19, № 1 (а); 2 (б); 4 (а, б); 5 (а); 8; 10 (а, в); 11 (а, б); 12; 16 (а); 17 (а, б); 20 (а); 22 (б); 23 (а); 24 (а, б); 26 (в, г);
§ 20, № 1 (а, б); 2 (в, г); 4; 7 (а); 9 (б); 12 (а); 13; 15.
V. Задание на дом
§ 19, № 1 (б); 2 (г); 4 (в, г); 5 (б); 9; 10 (б, г); 11 (в, г); 13; 16 (б); 17 (в, г); 20 (б); 22 (а); 23 (б); 24 (в, г); 26 (а, б);
§ 20, № 1 (в, г); 2 (а, б); 5; 7 (б); 9 (а); 12 (б); 14; 16.
VI. Подведение итогов уроков
Просмотр содержимого документа
«Тема урока: Синус, косинус и тангенс суммы и разности аргументов (обобщенное занятие)»
План урока
Предмет: математика
Преподаватель: Амирханова А. К.
Дата проведении:__________
Тема урока: Синус, косинус и тангенс суммы и разности аргументов (обобщенное занятие)
Цель: рассмотреть формулы сложения.
Ход уроков
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Изучение нового материала
Главу начнем с рассмотрения формул для синуса и косинуса суммы и разности аргументов (их также называют формулы сложения). Обратите особое внимание на эти формулы, так как из них достаточно просто могут быть получены практически все формулы тригонометрии.
Пример 1
Получим формулу (4).
В единичной окружности радиус ОР (равный 1) повернем на угол х и на угол у. Получим радиусы ОА и ОВ. Легко записать координаты векторов
Найдем скалярное произведение этих векторов:
С другой стороны,
Поэтому скалярное произведение векторов
можно записать и по-другому:
Сравнивая два полученных выражения для скалярного произведения векторов
, сразу получаем:
Формулы (5)-(7) получаются из формулы (4) с использованием формул приведения и четности функции cos х и нечетности функции sin х.
Пример 2
Получим пятую формулу.
Учтем формулы (7) и (5). Имеем:
В полученной дроби разделим числи тель и знаменатель дроби на cos х cos у. Тогда имеем:
Итак, получили
Аналогично выводится и шестая формула.
Теперь рассмотрим применение формул этой группы.
Пример 3
Вычислим cos 15°.
Учтем, что 15 = 45 - 30, и тогда
Таким образом, приведенные формулы позволяют расширить значения тригонометрических функций, представленных ранее в таблице.
Пример 4
Найдем
если
Используем формулу (6) и получим:
Найдем sin а. Используя формулу (1), получаем: sin2 a + c2 = 1, откуда
(учтено, что
и sin а 0). Тогда
Пример 5
Докажем неравенство
если
Выпишем очевидные неравенства cos β sin a sin a (так как cos β cos a sin β sin β (так как cos a cos β sin a + cos a sin β sin a + sin β или по формуле (7)
Пример 6
Известно, что a, β, γ - углы треугольника. Докажем, что
Учитывая, что a, β, γ — углы треугольника, имеем: a + β + γ = 180, откуда γ = 180° - (a + β).
Упростим выражение cos γ: cosy
Здесь учтено, что cos 180° = -1 и sin 180° = 0 (что видно из единичной окружности). Тогда
Tаким образом, тождество доказано.
Пример 7
В каких пределах находится отношение суммы катетов к гипотенузе в прямоугольном треугольнике?
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ = с и один из острых углов ∠А = а. Тогда через эти величины легко выразить катеты
Найдем отношение суммы катетов к гипотенузе:
Преобразуем выражение x, умножив и разделив его на
Получим:
Здесь при преобразовании выражения х было учтено, что
Так как a – острый угол в треугольнике, то
Прибавим ко всем частям этого неравенства π/4 и получим:
Для удобства обозначим
Тогда необходимо найти диапазон изменения величины
Диапазон этих углов отмечен на единичной окружности штриховкой (пунктир показывает, что значения углов
не достигаются). Понятно, что наименьшее значение х получается при
и равно
Наибольшее значение x достигается при z = π/2 и равно
Итак, отношение суммы катетов к гипотенузе меняется в пределах
Пример 8
Докажем, что функция у = ctg х убывает на промежутках (πn; π + πn), где n ∈ Z.
Данное утверждение достаточно доказать для промежутка (0; π). Используя определение убывающей функции и функции котангенса, получим:
Определим знак этого выражения. Так как 0 x1 sin x1 0 и sin х2 0. Поэтому знаменатель дроби положительный. Из неравенства находим -π x1 - х2 sin(x1 - х2) y(x1) ctg х убывает.
Пример 9
Найдем
Обозначим а = arcsin 1/3, тогда по определению sin a = 1/3 и
Найдем
(учтено, что cos a ≥ 0). Аналогично обозначим β =arcos 2/3, тогда cos β = 2/3 и β ∈ [0; π]. Вычислим
(учтено, что sin β ≥ 0).
Найдем:
Пример 10
Вычислим
Обозначим a = arctg 1/2 (тогда
) и β = arctg 1/3 (тогда
). Найдем сумму углов a + β. Сразу найти такую сумму нельзя. Поэтому вычислим любую тригонометрическую функцию от суммы углов. Проще всего найти тангенс. Учитывая известную формулу, получим:
Так как tg a 0 и tg β 0, то
В промежутке [0; π) уравнение tg(a + β) = 1 имеет единственное решение а + β = π/4. Поэтому
III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)
1. Формулы для синуса суммы и разности аргументов.
2. Косинус суммы и разности аргументов.
3. Формулы для тангенса суммы и разности аргументов.
IV. Задание на уроках
§ 19, № 1 (а); 2 (б); 4 (а, б); 5 (а); 8; 10 (а, в); 11 (а, б); 12; 16 (а); 17 (а, б); 20 (а); 22 (б); 23 (а); 24 (а, б); 26 (в, г);
§ 20, № 1 (а, б); 2 (в, г); 4; 7 (а); 9 (б); 12 (а); 13; 15.
V. Задание на дом
§ 19, № 1 (б); 2 (г); 4 (в, г); 5 (б); 9; 10 (б, г); 11 (в, г); 13; 16 (б); 17 (в, г); 20 (б); 22 (а); 23 (б); 24 (в, г); 26 (а, б);
§ 20, № 1 (в, г); 2 (а, б); 5; 7 (б); 9 (а); 12 (б); 14; 16.
VI. Подведение итогов уроков