Метрические соотношения в треугольнике и окружности
Повторение и систематизация знаний
План урока
- Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
- Теорема Пифагора
- Тригонометрические функции.
- Теорема косинусов.
- Теорема синусов.
- Свойство хорд.
- Свойство секущих.
- Решение задач
Соотношения в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике справедливы следующие соотношения:
h 2 = a 1 * b 1 ; b 2 = b 1 * c ; a 2 = a 1 * c , где b 1 и а 1 –
проекции катетов b и а на
гипотенузу.
Пример:
а 1 = 3, b 1 = 6 ,
а = ? b = ? h = ? с = ?
а
b
h
c
a 1
b 1
Решение: с = 9, а 2 = 27 ,
b 2 = 54, h = 18
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: с 2 = а 2 + b 2
Пример:
а = 12, b = 5 , с = ?
c
a
Решение:
с 2 = 169, с = 13
b
Определение тригонометрических функций
B
- Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin = ВС/АВ
- Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos = АС/АВ
- Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg = АВ/АС
- Котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg = АС/ВС
A
C
Пример: а = 5 , b = 12, c = 13.
Найти: sinA, cosA, tgA, ctgA
Решение: sinA = 5/13 , cosA = 12/13 ,
tgA = 5/12 , ctgA = 12/5.
Теорема косинусов
В произвольном треугольнике справедливо равенство : a 2 = b 2 + c 2 ± 2 bc cos
Пример:
1. b = 2, c = 5, = 60 o , а = ?
2 . а = 6, b = 8 , с = 9, cos = ?
B
9
6
A
C
8
Решение:
- а 2 = 4 + 25 - 20*1/2 =19
- 2 . cos = (64 + 81-36): 2*8*9=0,75
Теорема синусов
В произвольном треугольнике справедливо равенство:
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2 R ,
где R – радиус описанной окружности.
C
Пример:
а = 4 , sin A = 1/2
b = 6, sin B = ?
b
a
Решение:
8 = 6 / sin B , sin B = 3/4
A
B
c
Свойство хорд
Произведение ВА*АВ 1 = R 2 – a 2 постоянно .
B
C
Пример:
ВА = 2, АВ 1 = 6
СА = 4, СА 1 = ?
A
C 1
B 1
Решение:
СА 1 = 12:4 = 3
Свойство секущих
АВ*АВ 1 = АС*АС 1 = а 2 – R 2
A
Пример:
АВ = 3, АВ 1 = 8,
АС = 6, АС 1 = ?
B
C
B 1
C 1
Решение:
АС 1 = 3*8 / 6 = 4
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17, а высота, опущенная на основание, равна 15. Найти основание треугольника.
A
17
15
B
C
K
Решение: BK = 8, BC = 16.
Две стороны треугольника равны 3 и 7, а угол, противолежащий большей из них, равен 60 о . Найдите третью сторону треугольника.
7
3
Решение:
49 = х 2 + 9 – 2*3*х*1/2
х 2 – 3х – 40 = 0,
х = 8 ; -5.
Ответ: 8
60 o
x
Один из углов треугольника равен 30 о , а диаметр окружности, описанной около треугольника, равен 14. Найдите сторону, противолежащую данному углу.
C
Решение:
а/ sin30 o = 14 ,
а = 7
Ответ: 7
30 o
B
A
Решите треугольник АВС,
если угол А = 45 o , угол В = 75 o , АВ = 2 3
C
Решение:
- ВС : sin45 o = 2 3 : sin60 o
BC = 2 3 sin45 o : sin60 o , BC = 3 2
- AC : sin75 o = 2 3 sin60 o ,
AC = 2 3 sin75 o : sin60 o
AC = 3 sin 75 o
45 o
75 o
B
A