Великая и загадочная теорема Пьера де Ферма

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 3»

Творческий проект

Тема проекта:

История одной теоремы

Троицк

2022 г.

Аннотация наставника

Великая теорема Ферма доказана двадцать лет назад. Знаменитое уравнение развивало математику. Казалось бы, тема закрыта, но многим, не только математикам, не даёт покоя тот факт, что ещё в 1637 году Пьер Ферма заявил, что нашёл «удивительное» решение своей теоремы, несмотря на то, что математические знания того времени были далеки от знаний нашего времени. Для доказательства его Великой теоремы был проделан титанический труд многими поколениями математиков. История этого доказательства подобна многоступенчатой лестнице, преодоление каждой ступеньки которой стоило учёным огромных умственных, физических и душевных сил. Хотя сама теорема «стоит на краю» математических исследований, особого применения не имеет, но все попытки её доказательства дали ощутимый толчок развитию математики.

Содержание

Аннотация наставника …………………………………………………………….……………2

Введение …………………………………………………………………………………………3

1. Теоретическая часть…………………………………………………………………………..5

1. Создатель…………………………………………………………………………….5

2. Доказательство теоремы……………………………………………………………6

1. Практическая часть …………………………………………………………………………9

Заключение ……………………………………………………………………………..………11

Список литературы …………………………………………………………………………….12

Введение

«Никто никогда столь успешно не

проникал в тайны чисел, как Ферма»

Леонард Эйлер\

Великая теорема Ферма

История Великой теоремы Ферма неразрывно связана с историей математики, так как затрагивает все основные темы теории чисел. Она открывает уникальную возможность понять, что движет математикой и что дает вдохновение математикам, — а это, возможно, даже более важно. Великая теорема Ферма составляет центральное ядро захватывающей истории о смелости, мошенничестве, хитрости и трагедии, — истории, которая так или иначе затрагивает всех величайших героев математики. Своими корнями Великая теорема Ферма уходит в математику Древней Греции — за две тысячи лет до того, как Пьер де Ферма сформулировал свою проблему в том виде, в каком мы знаем ее сегодня. Таким образом, Великая теорема Ферма связывает основания математики, заложенные Пифагором, с наиболее изощренными идеями современной математики.

На первый взгляд теорема Ферма кажется, очень простой. Те, кто сталкиваются с ней впервые, обычно недоумевают: почему на протяжении 380 с лишним лет математики не могли её доказать? Однако вскоре подобные иллюзии рассеиваются, и становится понятно: теорема Ферма – одна из сложнейших математических задач всех времён. Эта теорема заинтересовала и меня…

Цель исследовательской работы: изучить доступную литературу по истории Великой теоремы Ферма, привести примеры простых заданий с использованием теоремы

Для достижения цели решались следующие задачи:

• изучить основные понятия и результаты, связанные с теорией;

• рассказать историю теоремы;

• проиллюстрировать теоретические результаты примерами;

• рассказать о великом математике, которому удалось доказать теорему Ферма.

1. Теоритическая часть

Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства.

1.1 Создатель

Рассказывая о великой теореме необходимо начать с её создателя – Пьера де Ферма. Он родился 17 августа 1601 года, в городе Бомон-де Ломань на юге Франции. его отец - Доминик Ферма – был «вторым консулом», то есть помощником мэра.

Мать Пьера, Клер де Лонг, происходила из семьи юристов. Доминик Ферма дал своему сыну Пьеру очень солидное образование. В колледже родного города мальчик приобрел хорошее знание языков – латинского, греческого, испанского, итальянского. Впоследствии он писал стихи на латинском, французском и испанском языках. При жизни Пьер де Ферма имел юридическое образование и был обычным городским адвокатом, но в душе он был страстным любителем математики и совершил множество удивительных открытий.  Получив образование, Ферма переехал в Бордо, там он работал адвокатом и вступил в местное математическое сообщество. Бордо был одним из центров научной жизни, где находили поддержку талант и творчество. В Бордо Ферма познакомился со многими учеными,  обменивался с ними своими идеями и расширял кругозор, в Бордо были изданы первые работы Ферма. Именно там зародились многие его идеи, в частности идея переиздания книги Аполлония «Плоские места», там же он открыл метод нахождения минимумов и максимумов функций, а также провел некоторые исследования, посвященные магическим квадратам. Ферма внёс значительный вклад во многие области математики. Но больше всего прославили работы по теории чисел. Он страстно был увлечен теорией чисел- наиболее древнейшей областью математики, которую получил в наследство о Пифагора и Диофанта. Пьера манили свойства чисел и отношения между ними. Особенно его занимали «невозможные» задачи-задачи, не имеющие решения. Несмотря на настойчивые просьбы, Пьер упорно отказывался раскрывать свои доказательства, а лишь формулировал созданные теоремы. Признание результатов для него ничего не значило. Он получал удовольствие от сознания, что в тиши своего кабинета может творить новые теоремы. Тактика формулирования проблемы и скрытия её решения имела под собой и практическую мотивацию: Ферма не имел времени подробно излагать полученные доказательства и избавляться от мелочных придирок ревнивых критиков, на которых пришлось бы тратить время и силы, чтобы разъяснять им ход своих мыслей.

1.2 Доказательство теоремы

Прошло уже столько лет, множество ученых боролись с теоремой, и все потерпели поражение, и кажется, что Великая теорема уже никогда не будет доказана, но это не так. Теорему Ферма смог доказать некий человек по имени Эндрю Уайлс. Эндрю Джон Уайлс родился в 1953 году в

Кембридже, но изучал математику в Оксфордском университете, где его отец, Морис Френк Уайлс, преподавал богословие. Эндрю узнал о великой теореме Ферма в 10 лет из научно-популярной книги по математике. Уайлс решил доказать теорему, используя знания из школьного курса арифметики, но  разумеется ему, пришлось оставить попытки найти доказательство, но теореме Ферма было суждено сопровождать его всю жизнь. Был летний вечер 1986 года. Эндрю Уайлс пил чай со льдом в гостях у друга. В разговоре собеседник обронил, что Риберт доказал эпсилон-гипотезу. Это вызвало в обычно сдержанном Уайлсе бурю эмоций. «В тот момент я понял, что вся моя жизнь изменилась. Если это было действительно так, то для доказательства теоремы Ферма нужно все лишь доказать гипотезу Таниямы — Симуры. В этот же самый миг я понял, над чем мне нужно работать», - вспоминал он позже. 

Уайлс оставил все остальные проекты и всецело посвятил себя решению этой задачи, практически полностью отгородившись от всего мира на семь лет. У него было важное преимущество: никто не имел ни малейшего представления, как подступиться к задаче. Однако: «Очень скоро я понял, что не могу распространяться о своей работе в разговорах с коллегами, даже мимоходом упоминать о ней — это привлекло бы повышенный интерес. Кроме этого, невозможно сосредоточится на одной теме в течение многих лет, находясь под таким давлением». Докторская диссертация Уайлса была посвящена арифметике эллиптических кривых с комплексным умножением методами, так называемой теории Ивасавы. В начале 1980-х Уайлс получил должность профессора в Принстонском университете в США. Казалось, что Уайлс забыл о давнем увлечении теоремой Ферма. Но позднее он признался: «я не забыл о ней. Я помнил о ней всегда, но понимал, что единственные возможные методы доказательства насчитывали свыше ста лет, и было не похоже, чтобы с их помощью можно было проникнуть в суть задачи. Коутс, мой учитель, познакомил меня с теорией Ивасавы, над которой работал он сам». То, что эта теория в итоге стала ключом к доказательству последней теоремы Ферма, - одно из многочисленных удивительных совпадений, которыми изобилует эта история, как бы то ни было, в 1986 году Риберт доказал эпсилон-гипотезу, и Уайлс немедленно вернулся к давно интересовавшей его теореме.

Эндрю Уайлс потратил очень много времени на доказательство теоремы, на это у него ушло около семи лет, и всё это время он искал возможность доказать великую теорему. Его доказательство основывалось на гипотезе Таниямы — Симуры, которая была сформулирована в 50-е и уточнена в 70-е годы XX века. В этой гипотезе устанавливалось удивительное и неожиданное соотношение между двумя семействами математических объектов, на первый взгляд никак не схожих между собой: эллиптическими кривыми и модулярными формами. Уайлс доказал некоторую часть этой гипотезы, ту что была ему необходима, чтобы достичь другой, но не менее важной цели.

Позднее выяснилось, что не только Уайлс работал над доказательством последней теоремы Ферма, Иоичи Мияока тоже пытался доказать теорему, но привел ошибочное доказательство, оно базировалось на так называемой философии параллелизма. Эксперты, которые занимались проверкой доказательства, обнаружили ошибку в рассуждениях японского математика. Несмотря на отчаянные усилия Мияоки, исправить ошибку так и не удалось, но это в свою очередь только подбодрило Эндрю Уайлса. 23 июня 1993 года в Кембридже на кафедре Принстонского университета Уайлс рассказал всем о своём доказательстве. Сказать, что все были удивлены, значит ничего не сказать.  

После Эндрю Уайлс получил большую популярность и попал в список журнала People 25 интригующих людей года. Но снова эксперты, проверяющие доказательство обнаружили ошибку, она казалась не значительной, и Уайлс решил ее исправить, но на это ушло больше времени чем, он думал, хотя всё  же 19 сентября 1994 года он смог исправить ошибку, и теорема считалась полностью доказанной.

С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Ферма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!

 Это величайшее событие в истории развития человеческой мысли Эндрю Уайлс прокомментировал так: «Мне выпало счастье осуществить в моей взрослой жизни то, что было мечтой моего детства. Я знаю, что это редкая удача. … Я был настолько поглощён доказательством, что не мог думать ни о чём другом. … Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрёл покой».

Рис.1 Исторический момент: Э. Уайлс закончил излагать доказательство!

2. Практическая часть

Почему она так знаменита? Великая теорема Ферма — задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство — даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. В чем же она состоит? Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста — на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны».
Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно: Теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах. То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству х² + y² = z². Начиная с 3, 4, 5 — действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25. Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно. Ну и так далее. А если взять похожее уравнение х3 + y3 = z³? Может, тоже есть такие числа?

Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота — кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение. Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? Легко: бац — а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие? Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно. В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик. Рассмотрим несколько задач где применяют теорему Ферма.

Задача 1: Если взять квадрат 3х3, состоящий из 9 квадратных плиток, и квадрат 4х4, состоящий из 16 плиток, то все эти плитки можно расположить по новому, так, чтобы они образовали квадрат 5х5, состоящий из 25 плиток

Сколько кубиков останутся «лишними», или куб останется недостроенным? Ближайшим к идеальному кубу будет такая кладка, в которой один кубик останется лишним или останется недостающим. Например, если мы начнём с кубов 6³ и 8³ то, рассыпав их на кубики, сможем сложить из них кладку, в которой всего лишь, одного кубика не хватает до полного куба 9³

Найти три целых числа, которые в точности удовлетворяют кубическому уравнению, по – видимому невозможно. Иначе говоря, по- видимому, у уравнения х³ + у³ = z³ не существует целостных решений.

Заключение

Исходя из вышеизложенного, я могу сказать, что математика не является сухой и нудной наукой. В её истории есть главы, посвящённые отдельным людям и открытиям, которые нельзя читать без волнения. Одной из таких глав является приведённая мною история жизни и деятельности Пьера де Ферма. Его Малая теорема имеет широкое применение при решении задач, служит одним из способов распознавания простоты натурального числа и используется при доказательстве многих теорем теории чисел. А для доказательства его Великой теоремы был проделан титанический труд многими поколениями математиков. История этого доказательства подобна многоступенчатой лестнице, преодоление каждой ступеньки которой стоило учёным огромных умственных, физических и душевных сил. Хотя сама теорема «стоит на краю» математических исследований, особого применения не имеет, но все попытки её доказательства дали ощутимый толчок развитию математики. Именно в этом и состоит её научная значимость. Романтические оптимисты верят в существование гениально простого доказательства самого Ферма, основанного на элементарных методах 17 века, и не теряют надежды открыть его.

В результате проведённой работы расширился мой общий кругозор:

- я пополнила свои знания в области делимости чисел Малой теоремой Ферма, не

изучаемой в школьном курсе;

- познакомилась с понятием сравнение по модулю, также не изучаемым в

школьном курсе;

- узнала формулировку Большой теоремы Ферма и увлекательную историю её

доказательства;

- изучила биографию уникального учёного Пьера де Ферма.

Теорема была доказана совсем не давно, и ее доказательство поймет не каждый профессиональный математик, поэтому Великая теорема Ферма пока не нашла применения, в решениях задач или в быту человека

 Но существует и другая теорема, Малая теорема ферма, она была выведена и доказана очень давно и имеет множество применений в олимпиадных задачах.

Список литературы

1. Абраров Д. Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса.

2. Кирсанов Ф. История Великой Теоремы Ферма.

3. Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982. Основная тема книги — последняя теорема Ферма.

4. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. — М.: Мир, 2003.

5. Сингх С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000.

6. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. — М.: Мир, 1980. В книге подробно рассматривается теория идеальных делителей Куммера.

7. https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2014/03/30/proekt-teorema-ferma

8. http://letopisi.org/index.php/Учебный_проект_Великая_теорема_Ферма

9. https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-uchashegosya-velikaya-i-zagadochnaya-teorema-ferma-5566720.html

10. https://nplus1.ru/material/2016/03/17/ferma