Видеолекция «Решение задания № 19 базового уровня по признакам делимости чисел»

Пояснительная записка

Успешная сдача экзамена по математике в формате ЕГЭ независимо от профиля, выбранного учеником, является одним из направлений модернизации школьного образования. Обновление структуры экзамена по математике предполагает изменения в подготовке к экзамену. Наряду с традиционными формами обучения вводятся различные новы формы обучения. Одной из таких форм обучения является видеолекция.

Видеолекция является новой, перспективной формой педагогической работы, приобретающей широкое распространение в современном образовательном процессе.

Видеолекция – это систематическое, последовательное изложение учебного материала преподавателем, не требующее его личного присутствия перед аудиторией посредством использования широких возможностей обработки, хранения и передачи видео и аудио информации.

Занятие адресовано учащимся 11 классов и направлено не только на устранение пробелов базовой составляющей математики, но и на помощь в систематизации знаний по основным темам школьной программы с дальнейшим применением при решении заданий базового и профильного уровня ЕГЭ. Содержание занятия позволяет учащимся вспомнить теоретический материал (признаки делимости чисел), изучаемый в школьном курсе 5, 6 классов и применить их при решении заданий № 19 уже в 11 классе. Видеолекция соответствует требованиям Положения о проведении регионального конкурса творческих разработок учителей математики, физики, химии, биологии, географии и педагогов-библиотекарей образовательных организаций Ямало-Ненецкого автономного округа «Инновационный технологии в современной образовательной организации», дополняет базовую программу, предоставляет учащимся возможность проявить умения анализировать и решать задания КИМов.

При подготовке к ЕГЭ стало привычным решение прототипов заданий, размещенных в Интернете открытого банка экзаменационных задач. Задачи открытого банка используются на занятии в ходе объяснения материала.

Характерной особенностью данного учебного занятия является систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков при решении заданий по этой теме.

Видеолекция предполагает теоретические и практические занятия.

Цели программы:

• формирование у всех учащихся базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу основного общего образования.

• формирование необходимости знаний для решения задач.

Задачи программы:

• систематизировать знания и умения, необходимые для применения в практической деятельности, а также для продолжения образования, проверяемые в ходе проведения ЕГЭ базового уровня;

• формировать устойчивые навыки в решении задач базового уровня, обеспечить целенаправленную подготовку учеников к итоговым испытаниям;

• совершенствовать умение выполнять задания на заданную тему, отработка вычислительных навыков;

• проводить систематическую коррекционную работу с учащимися с низким уровнем способностей к усвоению данного учебного материала;

• рассмотреть основные типы задач, входящих в основную часть КИМов ЕГЭ для учащихся, желающих подготовиться более тщательно.

Ссылка на видеоурок: https://drive.google.com/open?id=1BBWZKGwV9rPCMnFBNw7tEZRmPMBHh6B6

Содержание учебного материала.

1. Сообщение темы видеолекции (слайд 1)

1. Введение.

(слайд 2)

(слайд 3)

( слайд 4)

(слайд 5)

1. Повторение теоретического материала

(слайд 6)

(слайд 7)

(слайд 8)

(слайд 9)

(слайд 10)

(слайд 11)

(Источник: http://worksbase.ru/matematika/teoriya/5-priznaki-delimosti-chisel.html)

1. Практическая часть

Приведем примеры заданий с подробным объяснением из базы данных наиболее часто встречающиеся при решении заданий № 19. (слайды 12-19)

1. Найдите ше­сти­знач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 0 и де­лит­ся на 24.

Пояснение.

Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8.

Число де­лит­ся на 8, если три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 8. Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.

Число де­лит­ся на 3, если его сумма цифр числа де­лит­ся на 3. Поскольку три последние цифры числа нули, первые три должны быть единицами.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.

Ответ: 111000

2. Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 30. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 30, то оно также де­лит­ся на 3 и на 10. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль. Тогда вычёркиваем 41. Остаётся 1415650. Для того, чтобы число де­ли­лось на три необходимо, чтобы сумма цифр была крат­на трём, значит, нужно вы­черк­нуть цифру 1 или цифру 4. Таким образом, по­лу­ча­ем числа 145650, 115650 и 415650

 Ответ: 145650,115650,415650

3. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся трёхзначное число де­ли­лось на 27. В от­ве­те ука­жи­те по­лу­чив­ше­е­ся число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 27, тогда оно де­лит­ся на 3 и на 9. Число де­лит­ся на 9, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 9. Число де­лит­ся на 3, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 3. Заметим, что, если число де­лит­ся на 9, то оно де­лит­ся и на 3 (но необязательно, что делится на 27). Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Вы­черк­нув цифры 2, 4 и 6, получим число, сумма цифр ко­то­ро­го равна девяти. 135 делится на 27.

Ответ: 135

4. Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 15. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 15, то оно также де­лит­ся на 3 и на 5. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль или цифра пять. Тогда вычёркиваем 27. Остаётся 745135. По­счи­та­ем сумму цифр — 25. Для того, чтобы число де­ли­лось на три необходимо, чтобы сумма цифр была крат­на трём. В таком слу­чае можно вы­черк­нуть цифру 1 и по­лу­чить число 74535, цифру 4 и по­лу­чить 75135 или вы­черк­нуть цифру 7 и по­лу­чить число 45135.

Ответ: 45135

1. Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 12. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Число де­лит­ся на 12 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 3 и на 4. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 4 следует, что число должно оканчиваться двумя 0 или чилом, делящимся на 4 — вы­черк­нем по­след­нюю цифру. Те­перь ис­поль­зу­ем при­знак де­ли­мо­сти на 3. Найдём сумму цифр в числе 1 + 8 + 1 + 6 + 1 + 5 + 1 + 2 = 25. Бли­жай­шие суммы цифр — 24, 21, 18. Чтобы по­лу­чить сумму цифр 18 вы­черк­нем из числа цифры 6 и 1. По­лу­чим число 181512. Это число де­лит­ся и на 4, и на 3. Число 116112 также под­хо­дит для ответа.

Ответ: 116112

1. Найдите четырёхзначное число, крат­ное 88, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и чётны. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Число де­лит­ся на 88, если оно де­лит­ся на 8 и на 11. При­знак де­ли­мо­сти на 8: число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры — нули или об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. При­знак де­ли­мо­сти на 11: число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных местах, либо раз­ность этих сумм де­лит­ся на 11. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 8, и учитывая, что все цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны быть чётны и раз­лич­ны получаем, что по­след­ни­ми циф­ра­ми числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 11 получим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа: 6248, 8624, 2640.

Ответ: 6248,8624,2640

1. Приведите при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 2 и де­лит­ся на 24. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 24, то оно также де­лит­ся на 3 и на 8.

Число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. Пе­ре­брав трёхзначные числа из 1 и 2, получим, что толь­ко 112 де­лит­ся на 8. Это число об­ра­зу­ет по­след­ние три цифры ис­ко­мо­го числа.

Число де­лит­ся на 3 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 3. По­след­ние три цифры 112 дают к сумме 4. Рас­смот­рим пер­вые три цифры. Их сумма может быть от 3 до 6. Усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет сумма цифр, рав­ная 5. Троек с дан­ной сум­мой цифр три: 122, 212, 221.

Таким образом, под­хо­дят числа: 122112, 212112, 221112.

1. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Найдём все трёхзначные числа, большие пятисот, такие, что средняя цифра равна среднему арифметическому крайних. Пусть первая цифра числа 5, тогда если последняя цифра чётная, то средняя — не целое число. Следовательно, последняя цифра должна быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. Среднюю цифру находим как среднее арифметическое крайних. Получаем: 531, 543, 555, 567, 579.

Рассуждая аналогично, находим оставшиеся трёхзначные числа, обладающие этим свойством: 630, 642, 654, 666, 678, 741, 753, 777, 789, 840, 852, 864, 876, 888, 951, 963, 975, 987, 999.

Определим, какие из найденных чисел дают одинаковые остатки при делении на 5 и на 6. Это числа 543 (остаток 3), 630 (остаток 0), 753 (остаток 3), 840 (остаток 0), 963 (остаток 3).

Ненулевые равные остатки дают числа 543, 753, 963.

1. Вывод.

(слайд 20)

1. Заключение.

(слайд 21)

(слайд 22)

Ссылки на интернет источники.

1. http://worksbase.ru/matematika/teoriya/5-priznaki-delimosti-chisel.html

2. mathb-ege.sdamgia.ru «РЕШУ ЕГЭ»: математика базовый уровень.

1. worksbase.ru Как решать задание 19 ЕГЭ по математике базового уровня

1. rosuchebnik.ru›material/ege-matematika-19-zadanie/

2. easyen.ru

Приложение.

(Раздаточный материал).

Основные признаки делимости чисел:

• ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «2»:

Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8) Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.

• ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «3»:

Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3 Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.

• ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «4»:

• Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4 Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.

• ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «5»:

Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5 Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.

• ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «6»:

Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3 Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.

• ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «8»:

Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8 Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8. 

• ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА «11»:

При­знак де­ли­мо­сти на 11: число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных местах, либо раз­ность этих сумм де­лит­ся на 11

(Источник: http://worksbase.ru/matematika/teoriya/5-priznaki-delimosti-chisel.html)