Вписанные и описанные конусы.

Пирамида, вписанная в конус

Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется описанным около пирамиды.

Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Ответ:

Упражнение 2

Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Ответ:

Упражнение 3

Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Ответ: 1.

Пирамида, описанная около конуса

Пирамида называется описанной около конуса, если ее основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется вписанным в пирамиду.

В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность.

Упражнение 1

Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Ответ:

Упражнение 2

Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Ответ: 2.

Упражнение 3

Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Ответ:

Сфера, вписанная в конус

Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы.

В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.

Напомним, что радиус r окружности, вписанный в треугольник, находится по формуле

где S – площадь, p – полупериметр треугольника.

Упражнение 1

В конус, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, вписана сфера. Найдите ее радиус.

Решение. Треугольник SAB равносторонний. Высота SH равна Площадь S равна Полупериметр p равен 3. По формуле r = S/p получаем

Упражнение 2

В конус, радиус основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту конуса.

Решение. Обозначим h высоту SH конуса . Из формулы r = S/p имеем:

где r = 1, a = FG = 4, p =

Решая уравнение

находим

Упражнение 3

Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 о . Найдите радиус вписанной сферы.

Решение. Высота SH конуса равна 1. Образующая .

Полупериметр p равен

По формуле r = S/p , имеем

Ответ:

Упражнение 4

Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус вписанной сферы.

Решение. Радиус основания конуса равен 6. Площадь треугольника SFG равна 48, полупериметр 16. По формуле r = S/p имеем r = 3.

Ответ: r = 3.

Упражнение 5

Можно ли вписать сферу в наклонный конус?

Ответ: Нет.

Сфера, вписанная в усеченный конус

Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается его основани й и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом усеченный конус называется описанным около сферы.

В усеченный конус можно вписать сферу, если в его осевое сечение можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу вписанной сферы.

Упражнение 1

В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 1, вписана сфера. Найдите радиус сферы и высоту усеченного конуса.

Решение. Имеем: A 1 B = A 1 O 1 = 2, A 2 B = A 2 O 2 = 1. Следовательно, A 1 A 2 = 3 , A 1 C = 1.

Таким образом,

Упражнение 2

В усеченный конус, радиус одного основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите радиус второго основания.

Решение. Пусть A 1 O 1 = 2. Обозначим r = A 2 O 2 . Имеем: A 1 A 2 = 2+ r , A 1 C = 2 – r . По теореме Пифагора, имеет место равенство из которого следует, что выполняется равенство Решая полученное уравнение относительно r , находим

Упражнение 3

В усеченном конусе радиус большего основания равен 2, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 о . Найдите радиус вписанной сферы.

Решение. Заметим, что осевым сечением конуса, из которого получен усеченный конус, является равносторонний треугольник со стороной 2. Радиус r сферы, вписанной в усеченный конус, равен радиусу окружности, вписанной в этот равносторонний треугольник, т.е.

Упражнение 4

Образующая усеченного конуса равна 2, площадь осевого сечения 3. Найдите радиус вписанной сферы.

Решение. Воспользуемся формулой r = S/p , где S – площадь осевого сечения, p – полупериметр. В нашем случае S = 3 . Для нахождения полупериметра напомним, что для четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны. Значит, полупериметр равен удвоенной образующей цилиндра, т.е. p = 4. Следовательно, r = ¾.

Ответ:

Упражнение 5

Можно ли вписать сферу в усеченный наклонный конус.

Ответ: Нет.

Сфера, описанная около конуса

Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу .

Около любого конуса (прямого, кругового) можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса.

Напомним, что радиус R окружности, описанной около треугольника, находится по формуле

где S – площадь, a , b , c – стороны треугольника.

Упражнение 1

Около конуса, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.

Решение. Треугольник SAB равносторонний со стороной 2. Высота SH равна Площадь S равна По формуле R = abc /4 S получаем

Упражнение 2

Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса.

Решение. Имеем, OB = 5 , HB = 4. Следовательно, OH = 3. Учитывая, что SO = OB = 5, получаем h = 8.

Ответ: h = 8.

Упражнение 3

Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 о . Найдите радиус описанной сферы.

Решение. Треугольник SAB – прямоугольный, равнобедренный. Следовательно, радиус R описанной сферы равен радиусу основания цилиндра, т.е. R = 1.

Ответ: R = 1.

Упражнение 4

Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус описанной сферы.

Решение. В треугольнике SAB имеем: SA = SB = 10, SH = 8. По теореме Пифагора, AH = 6 и, следовательно, S = 48. Используя формулу R = abc /4 S , получаем

Упражнение 5

Можно ли описать сферу около наклонного конуса?

Ответ: Да.

Сфера, описанная около усеченного конуса

С фера называется описанной около усеченного конуса, если окружност и основани й усеченного конуса лежат на сфере. При этом усеченный к онус называется в писанным в сферу.

Около усеченного конуса можно описать сферу, если около его осевого сечения можно описать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу описанной сферы.

Упражнение 1

Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.

Решение. Заметим, что A 1 O 1 B 2 O 2 и O 1 B 1 B 2 A 2 – ромбы. Треугольники A 1 O 1 A 2 , O 1 A 2 B 2 , O 1 B 1 B 2 – равносторонние и, значит, A 1 B 1 –диаметр. Следовательно, R = 2.

Ответ: R = 2,

Упражнение 2

Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1, образующая равна 2 и составляет угол 45 о с плоскостью другого основания. Найдите радиус описанной сферы.

Решение. Имеем A 2 O 2 = 1, A 1 A 2 = 2, O 1 O 2 = , OO 1 = O 1 C = 1. Следовательно, OO 2 = 1 + и, значит,

Упражнение 3

Радиус одного основания усеченного конуса равен 4, высота 7, радиус описанной сферы 5. Найдите радиус второго основания усеченного конуса.

Решение. Имеем OO 1 = 3 , OO 2 = 4 и, следовательно, O 2 A 2 = 3.

Ответ: 3.

Упражнение 4

Найдите радиус сферы, описанной около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 4, а высота равна 5.

Решение. Обозначим R радиус описанной сферы. Тогда

Учитывая, что O 1 O 2 = 6, имеем равенство

Решая его относительно R , находим

Упражнение 5

Можно ли описать сферу около усеченного наклонного конуса.

Ответ: Нет.