Зачет по теме «Степени и корни. Степенные функции» 11 класс

Цель: проверка знаний учащихся по вариантам одинаковой сложности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Характеристика зачетной работы

Работа составлена в двух равноценных вариантах. По сравнению с контрольной работой увеличено количество заданий. У учащихся возрастает возможность выбора задач. Все задания разбиты на три блока А, В и С. Самые простые задачи находятся в части А, более сложные - в части В, еще сложнее - в части С. Каждая задача из А оценивается в 1 балл, из В - в 2 балла, из С — в 3 балла. Поэтому за правильное решение всех задач блока А можно получить 7 баллов, блока В - 8 баллов и блока С - 9 баллов (всего 24 балла). Оценка 3 ставится за 6 баллов, оценка 4 - за 10 баллов, оценка 5 - за 14 баллов.

Так как эта работа является зачетной, то в нее не включены принципиально новые задачи. Поэтому разбору заданий работы отдельного задания можно и не посвящать (решения задач могут быть вывешены на стенде). Для стендового размещения разбор вариантов приводится.

III. Варианты зачетной работы

Вариант 1

А

1. Вычислите значение числового выражения 

2. Расположите числа   в порядке возрастания.

3. Найдите области определения и значений функции 

4. Постройте график функции 

5. Определите число решений системы уравнений   Найдите эти решения.

6. Упростите выражение 

7. Найдите производную функции 

В

8. Найдите значение выражения 

9. Упростите выражение 

10. Решите уравнение 

11. Постройте график функции 

C

12. Даны две функции:   Докажите тождество f(g(x)) = g(f(x)) и найдите значение выражения f(g(2)).

13. Решите уравнение 

14. Прямая касается графика функции   и проходит через точку (-11/3; 0). Найдите координаты точки пересечения этой прямой с осью ординат.

Вариант 2

А

1. Вычислите значение числового выражения 

2. Расположите числа   в порядке возрастания.

3. Найдите области определения и значений функции 

4. Постройте график функции 

5. Определите число решений системы уравнений   Найдите эти решения.

6. Упростите выражение 

7. Найдите производную фикции 

В

8. Найдите значение выражения 

9. Упростите выражение 

10. Решите уравнение 

11. Постройте график функции 

С

12. Даны две функции:   Докажите тождество f(g(x)) = g(f(x)) и найдите значение выражения f(g(-2)).

13. Решите уравнение 

14. Прямая касается графика функции   и проходит через точку (-15/4; 0). Найдите координаты точки пересечения этой прямой с осью ординат.

Ответы

Вариант 1

4. График построен.

5. Одно решение (1; 1).

11. График построен.

Решения

12. Функции f(x) и g(x) взаимообратные. По свойству таких функций f(g(x)) = g(f(x)) = х Так как обычно такого свойства не помнят, то вычислим значения данных функций непосредственно:

 Таким образом, тождество доказано и f(g(2)) = 2.

Ответ: тождество доказано, f(g(2)) = 2.

13. Введем новые переменные   Получаем первое уравнение: a - b = 3. Возведем в куб переменные а и b: а³ = х + 5 и b³ = х - 4. Вычтем эти выражения и получим второе уравнение: а³ - b³ = 9, или (a - b)(a² + ab + b²) = 9, или a² + ab + b² = 3. Имеем систему двух уравнений:   Из первого уравнения выразим а = b + 3 и подставим во второе уравнение. Получаем квадратное уравнение: (b + 3)² + (b + 3)b + b² = 3 или b² + 3b + 2 = 0, корни которого b₁ = -1 и b₂ = -2. Учтем, что х = b³ + 4 и найдем x₁ = 3 и х₂ = -4.

Ответ: x₁ = 3 и х₂ = -4.

14. Напишем уравнение касательной. Найдем производную функцию   и получим:  Предположим, что касание происходит в точке х = а. Получаем уравнение касательной:   или  Для нахождения величины а учтем, что касательная проходит через точку (-11/3; 0). Получаем уравнение:   или   откуда а = 13/3. Тогда уравнение касательной имеет вид:   или   Подставим значение х = 0 и найдем точку пересечения касательной с осью ординат: у = 11/12. Таким образом, координаты этой точки (0; 11/12).

Ответ: (0; 11/12).

Ответы

Вариант 2

4. График построен.

5. Одно решение (1; 1).

11. График построен.

Решения

12. Функции f(x) и g(x) взаимообратные. По свойству таких функций f(g(x)) = g(f(x)) = х. Так как обычно такого свойства не помнят, то вычислим значения данных функций непосредственно:

 Таким образом, тождество доказано и f(g(-2)) = -2.

Ответ: тождество доказано, f(g(-2)) = -2.

13. Введем новые переменные   Получаем первое уравнение: a - b = 1. Возведем в куб переменные а и b: а² = х - 3 и b² = х - 10. Вычтем эти выражения и получим второе уравнение: а³ - b³ = 7, или   или a² + ab + b²= 7. Имеем систему двух уравнений:   Из первого уравнения выразим а = b + 1 и подставим во второе уравнение. Получаем квадратное уравнение:   или b² + b - 2 = 0, корни которого b₁ = -2 и b₂ = 1. Учтем, что х = b³ + 10, и найдем x₁ = 2 и х₂ = 11.

Ответ: x₁ = 2 и х₂ = 11.

14. Напишем уравнение касательной. Найдем производную функцию   и получим:  Предположим, что касание происходит в точке х = а. Получаем уравнение касательной:   или   Для нахождения величины а учтем, что касательная проходит через точку (-19/4; 0). Получаем уравнение:   или 0 = -19 + 8а + 9, откуда а = 5/4. Тогда уравнение касательной имеет вид:   или   Подставим значение х = 0 и найдем точку пересечения касательной с осью ординат: у = 3/4. Таким образом, координаты этой точки (0; 3/4).

Ответ: (0; 3/4).