Задачи на движение в заданиях ЕГЭ.

ЕГЭ Математика

В13

• Задачи на проценты
• Задачи на смеси и сплавы

• Задачи на движение

• Задачи на работу
• Задачи на прогрессии

Автор: Богачёва Нина Владимировна

Решение задач на движение

Все задачи на движение решаются по одной формуле что означает расстояние = скорость ∙ время. Из этой формулы можно выразить скорость или время

В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость, тогда задача легко решается.

Основными типами задач на движение являются следующие:

• На движение по прямой (навстречу и вдогонку)
• На движение по окружности (замкнутой трассе)
• На движение по воде (течение)
• На среднюю скорость
• На движение протяженных тел.

Рассмотрим базовые задачи каждого типа

Движение навстречу

Задача

№ 1

Если расстояние между двумя движущимися навстречу друг другу телами равно s , а их скорости v 1 и v 2 , то время t , через которое они встретятся, находится по формуле

Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

Решение: Через час после выезда первого авто расстояние между машинами стало равно

435 – 60 = 375 (км), поэтому автомобили встретятся через время

Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 4 часа и проедет

60 ∙ 4 = 240 (км).

Ответ: 240

3

Движение вдогонку

Задача

№ 2

Если расстояние между двумя телами равно s , и они движутся по прямой в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 так, что первое тело следует за вторым, то время t , через которое первое тело догонит второе, находится по формуле

Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение. Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам, т. е. 0,3 км, находим по формуле

Следовательно это время составляет 12 минут

Ответ: 12

4

Движение по окружности

Задача

№ 3

Если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями, то первая точка приближается ко второй со скоростью v 1 - v 2 и в момент, когда первая точка догоняет вторую, она проходит расстояние s на один круг больше. Время t , через которое первое тело догонит второе, находится по формуле

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 мин после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/час.

Решение. Пусть скорость второго автомобиля х км/ч. Поскольку 40 минут составляют 2/3 часа и это – то время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим по условию задачи уравнение

Откуда 160 – 2 х = 42, т. е. х = 59

Ответ: 59

5

Движение по окружности

Задача

№ 4

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через ½ ч. после обгона. Заполним таблицу

Решение. Переведем минуты в часы: 10 мин = 1/6 часа, 40 мин = 2/3 часа. Запишем данные в таблицу

Решая систему из этих двух уравнений получаем: х = 20, у = 80

v

велосипед

мотоцикл

t

x

s

y

Мотоциклист проехал на один круг больше, т. е. на 30 км, получаем второе уравнение

Ответ: 80

Оба проехали одинаковые расстояния, составим первое уравнение

Движение по окружности

Задача

№ 5

Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Решение. За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая 1/12 часть круга. Пусть их скорости равны 1 (круг в час) и 1/12 (круга в час). Старт – в 8.00. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую. Минутная стрелка пройдет на 2/3 круга больше, поэтому уравнение будет таким

Решив его, получим t = 8/11 часа.

Пусть во второй раз они поравняются через время z . Причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Получим уравнение

Решив его, получим z = 12/11 часа. Итак через 12/11 часа

стрелки поравняются во второй раз, еще через 12/11 часа –

в третий раз, и еще через 12/11 часа – в четвертый раз. Значит, если старт был в 8.00, то в четвертый раз стрелки поравняются через 4 часа

Ответ: 4

7

Движение по воде

Задача

№ 6

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна х, тогда скорость движения моторки по течению равна х + 1, а скорость, с которой она движется против течения х – 1. Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км. Теперь можно найти время по течению

и против течения

Против течения лодка затратила на 2 часа меньше, получаем уравнение

Следовательно скорость лодки равна 16

Ответ: 16

Сокирко Светлана Петровна

Для появления решения кликни по картинке с улыбающимся карандашом

8

Движение по воде

Задача

№ 6

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть скорость течения реки равна х, тогда скорость движения теплохода по течению равна 15 + х , а скорость, с которой он движется против течения 15 – х . Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 200 км. Теперь можно найти время по течению

и против течения

Против течения и по течению теплоход шел 30 часов, получаем уравнение

Решив уравнение, получим скорость течения равна 5км/ч.

Ответ: 5

Сокирко Светлана Петровна

Для появления решения кликни по картинке с улыбающимся карандашом

9

Средняя скорость

Задача

№ 7

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за  s . Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно s /20,

а время, затраченное на полет, равно  s /480. Чтобы найти среднюю скорость, нужно общий путь s + s разделить на общее время

Получим выражение

Средняя скорость равна  38,4  км/ч.

Ответ: 38,4

10

Задача

№ 8

Движение протяженных тел

В задачах такого типа требуется, как правило, определить длину одного из них. Наиболее типичная ситуация: определение длины поезда, проезжающего мимо столба или протяженной платформы. В первом случае поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, во втором случае – расстояние , равное сумме длин поезда и платформы.

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: 1-й длиной 120 метров, 2-й – длиной 80 метров. Сначала 2-й сухогруз отстает от 1-го и в некоторый момент времени расстояние от кормы 1-го сухогруза до носа 2-го сухогруза составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже 1-й сухогруз отстает от 2-го так, что расстояние от кормы 2-го сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость 1-го меньше скорости 2-го сухогруза?

Решение. Будем считать, что 1-й сухогруз неподвижен, а 2-й приближается к нему со скоростью х (м/мин), равной разности скоростей 2-го и 1-го сухогрузов. Тогда за 12 минут второй сухогруз проходит расстояние s = 400 + 80 + 120 + 600 = 1200 (м). Поэтому

Переведем в км/ч: 0,1 км ∙ 60 мин = 6 км/ч.

Ответ: 6

11