ПРИМЕР 7. Построить треугольник по трем высотам.[4] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Задачу надо понимать так: даны три отрезка требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник , высоты которого проведенные из вершин соответственно равны АНАЛИЗ ЗАДАЧИ. Обозначим через длины сторон искомого треугольника, противолежащих углам а через длины отрезков Воспользуемся равенствами (каждое из произведений равно удвоенной площади треугольника). Из первого равенства получаем пропорцию а из второго равенства имеем и поэтому Таким образом, Полученные равенства показывают, что искомый треугольник со сторонами подобен треугольнику со сторонами Это дает ключ к решению задачи. ПОСТРОЕНИЕ. По данным отрезкам с длинами построим отрезок, длина которого равна Это можно сделать следующим образом: построим какой-нибудь угол и отложим от его вершины на одной стороне угла последовательно отрезки и а на другой стороне угла отрезок Проведем прямую , а затем через точку прямую, параллельную Она пересекает луч в точке резок что следует из пропорции . Далее построим треугольник по трем сторонам . Этот треугольник, как уже было отмечено, подобен искомому треугольник у. через вершину проведем высоту треугольника и отложим на ней (или на ее продолжении) отрезок , равный . Через точку проведем прямую, параллельную Точки пересечения этой прямой с лучами являются вершинами искомого треугольника ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построенный треугольник подобен треугольнику и, следовательно, подобен искомому треугольнику. Высота, проведенная из вершины в построенном треугольнике , равна , как должно быть в искомом треугольнике, т.е. сходственные высоты в треугольнике и искомом треугольнике равны. Значит, коэффициент подобия равен 1, а это и означает, что треугольник есть искомый. ИССЛЕДОВАНИЕ. Искомый треугольник можно построить в том случае, если можно построить треугольник , стороны которого равны соответственно Следовательно, данные отрезки должны быть такими, чтобы из отрезков с длинами можно было построить треугольник. В таком случае задача имеет решение. ПРИМЕР 8. Постройте равнобедренный треугольник, если даны прямая, на которой лежит медиана, проведенная из вершины, две точки на боковых сторонах и точка на основании. РЕШЕНИЕ. АНАЛИЗ ЗАДАЧИ. Предположим, что искомый равнобедренный треугольник построен. Данные точки лежат на боковых сторонах соответственно, данная точка , медиана на данной прямой . Поскольку медиана равнобедренного является также его биссектрисой, а биссектриса есть ось симметрии угла, то точка , симметричная точке относительно прямой , лежит на боковой стороне В то же время, медиана является также высотой равнобедренного треугольника . Поэтому точка лежит на прямой, перпендикулярной данной прямой ПОСТРОЕНИЕ. Отсюда вытекает следующее построение. Строим точку , симметричную данной точке относительно данной прямой . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если точка отлична от данной точки и прямая пересекает данную прямую , задача имеет единственное решение. В этом случае прямая содержит одну из боковых сторон искомого треугольника, а прямая, симметричная ей относительно данной прямой — вторую. Основание искомого треугольника получим, проведя через данную точку прямую, перпендикулярную прямой . ИССЛЕДОВАНИЕ. Если прямая параллельна то задача не имеет решений. Если же точка совпадет с , задача имеет бесконечно много решений. |