Решение неравенств второй степени с одной переменной.

7. Записать ответ.

Рассмотрим примеры.

Задание №1.

Рассмотрим квадратичную функцию:

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Выясним, как расположена эта парабола относительно оси Х.

Для этого решим уравнение:

Это уравнение имеет корни и , значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны и .

Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости. Отметим эти значения на оси Х:

Из рисунка видно, что функция принимает отрицательное значение когда x принадлежит промежутку от – 5 до .

Следовательно, множеством решения неравенства является промежуток (–5; ).

Ответ: х ∈ (–5; ).

Заметим, что в рассмотренном способе нас не интересовала вершина параболы, всего лишь нужно было знать, куда направлены ветви параболы и каковы абсциссы точек ее пересечения с осью Х.

Рассмотрим второе неравенство.

Задание №2.

Решить неравенство:

Рассмотрим квадратичную функцию:

Имеем параболу ветви которой направлены вверх.

Для нахождения точек пересечения с осью Х решим уравнение:

Уравнение имеет корни и , значит, парабола пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны и

Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости. Отметим эти значения на оси Х:

Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения, если x принадлежит промежутку х ∈ (–∞; –3) и х ∈ (2; + ∞).

Следовательно, решением неравенства является объединение промежутков.

Ответ: х ∈ (–∞; –3) ∪ (2; + ∞)

Задание №3.

Рассмотрим функцию:

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз определим, как расположен график относительно оси Х.

Для этого решим ур авнение:

Так как дискриминант равен Д= –223, то есть он меньше нуля, это означает что это уравнение корней не имеет.

Значит, парабола не имеет общих точек с осью Х.

Показав схематически расположение параболы в координатной плоскости, найдем, что функция не принимает положительное значение ни при каких значениях x.

Ответ: решением данного неравенства является пустое множество ∅.

Задание №4.

Определить, при каком значении переменной b уравнение имеет корни:

Найдем дискриминант этого уравнения:

Тогда выполнение задания сводиться к решению неравенства второй степени. Причём с нестрогим знаком, больше либо равно.

Применив алгоритм, найдем корни уравнения:

Изобразим их на числовой прямой:

Уравнение имеет корни:

Задание №5.

Решить систему неравенств:

Решим каждое неравенство в отдельности. В первом случае:

Во втором случае:

Мы получили решение двух неравенств второй степени. Вернёмся к системе. Решением системы будет пересечение двух решений. Значит, решением системы будет объединение промежутков:

1. Выучить п. 14.
2. Посмотреть видео по теме урока
3. Решить № 305(б), 307(б).