Скрещивающиеся прямые

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Определение. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые

Лежат в одной плоскости

Не лежат в одной плоскости (скрещиваются)

Имеют общую точку (пересекаются)

Не имеют общих точек (параллельны)

Признак скрещивающихся прямых

Теорема. Если одна прямая лежит в данной плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти две прямые скрещиваются.

Доказательство. Пусть прямая a лежит в плоскости , а прямая b пересекает плоскость в точке B , не принадлежащей прямой a . Если бы прямые a и b лежали в одной плоскости, то в этой плоскости лежала бы и точка B . Поскольку через прямую и точку вне этой прямой проходит единственная плоскость, то этой плоскостью должна быть плоскость . Но тогда прямая b лежала бы в плоскости , что противоречит условию. Следовательно, прямые a и b не лежат в одной плоскости, т.е. скрещиваются.

Упражнение 1

Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве скрещиваются?

Ответ: Нет.

Упражнение 2

Назовите прямые, проходящие через вершины куба A…D 1 и скрещивающиеся с прямой AB .

Ответ: A 1 D 1 ; B 1 C 1 ; DD 1 ; CC 1 .

Упражнение 3

Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра куба A…D 1 ?

Решение: Каждое ребро участвует в четырех парах скрещивающихся прямых. У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно

Упражнение 4

В тетраэдре ABCD укажите пары скрещивающихся ребер.

Ответ: AB и CD ; BC и AD ; AC и BD .

Упражнение 5

Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы?

Решение: Для каждого ребра оснований имеется три ребра, с ним скрещивающихся. Для каждого бокового ребра имеется два ребра, с ним скрещивающихся. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно

Упражнение 6

Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра правильной шестиугольной призмы?

Решение: Каждое ребро оснований участвует в 8 парах скрещивающихся прямых. Каждое боковое ребро участвует в 8 парах скрещивающихся прямых. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно

Упражнение 7

Назовите прямые, содержащие ребра многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, скрещивающиеся с прямой AA 2 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. BC , CD , B 1 C 1 , A 1 D 1 , B 2 C 2 , C 1 D 1 , C 2 D 2 .

Упражнение 8

Назовите прямые, содержащие ребра многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, скрещивающиеся с прямой AB .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ. DD 1 , CC 1 , C 2 C 3 , D 2 D 3 , A 1 D 1 , A 2 D 2 , B 2 C 2 , B 1 C 1 , A 3 D 3 , B 3 C 3 .

Упражнение 9

Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра октаэдра?

Решение: Для каждого ребра имеется четыре ребра, с ним скрещивающихся. У октаэдра 12 ребер. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно

Упражнение 10

Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра икосаэдра?

Решение: Для каждого ребра имеется 20 ребер, с ним скрещивающихся. У икосаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно

Упражнение 11

Сколько имеется пар скрещивающихся прямых, содержащих ребра додекаэдра?

Решение: Для каждого ребра имеется 24 ребра, с ним скрещивающихся. У додекаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар скрещивающихся прямых равно

Упражнение 1 2

Как расположены в пространстве прямые a и b , проведенные в плоскостях и ?

Ответ: Скрещиваются.

Упражнение 1 3

Как в пространстве расположены прямые EF и GH , проведенные в плоскостях граней куба A … D 1 ?

Ответ: Скрещиваются .

Упражнение 1 4

Как в пространстве расположены прямые EF и GH , проведенные в плоскостях граней тетраэдра?

Ответ: Скрещиваются .

Упражнение 1 5

Как в пространстве расположены прямые EH и FG ?

Ответ: Скрещиваются .

Упражнение 1 6

Возможно ли такое расположение карандашей?