Бутылка Клейна: необычный математический объект со странными свойствами

Бутылка Клейна: необычный математический объект со странными свойствами

Математика — это наука далеко не про цифры. Говорить о том, что математика является наукой про цифры, это тоже самое, что говорить, что живопись — это кисти и краски, а балет — это пачки и пуанты. Математика изучает величины, отношения этих величин и формы в пространстве.

Один из разделов математики, топология, изучает непрерывности, в том числе непрерывности пространства. Одним из направлений изучения топологий является неориентируемые многообразия, где под многообразием понимают некое пространство подобное тому, в котором живем мы.

Самым простым примером неориентируемого многообразия является лента Мебиуса. Чтобы получить такой объект, достаточно взять длиную ленту бумаги и соединить ее концы, перевернув один из них на 180 градусов.

Лента Мебиуса

Если соединить концы прямо, то лента образует кольцо с внутренней и внешней поверхностью, которые отделены двумя краями. Если мы скрепим ленту, повернув один из концов на 180 градусов, то мы получим одну замкнутую поверхность с одним краем. То есть, если мы пойдем по поверхности этой ленты, то мы сможем обойти всю ее площадь, при этом не перебираясь через край.

В 1882 году Феликс Клейн выдвинул идею о том, как сделать такой объект, который будет заключать в себе одну замкнутую поверхность и при этом не будет обладать ни одним краем. Он взял мысленно цилиндр, воткнул один его край в бок и соединил со вторым краем. Так он получил бутылку Клейна.

Помимо того, что у этой бутылки нет краев, главной ее особенностью является то, что у нее имеется только одна сторона. Под понятием «одна сторона» подразумевается следующее: если мы мысленно начнем идти по поверхности данного объекта, то мы сможем обойти всю ее площадь как внутри, так и снаружи. Идя по внешней части, мы можем зайти в дырку, при этом не перебираясь не через какие края, поскольку их тут просто нет. Пройдя в эту дырку мы попадем внутрь и сможем обойти и там всю поверхность.

Сравнивая с обычной бутылкой, можно заметить, что у обычной бутылки имеется две поверхности — внешняя и внутренняя. При этом внешняя и внутренняя поверхность отделены краем горлышка.

Если мы представим бутылку абсолютно тонкой, то ее край, то есть ее горлышко, станет абсолютно острым. И если мы мысленно будем ходить по ее внешнему краю и попытаемся попасть внутрь, то нас просто разрежет. В случае с абсолютно тонкой бутылкой Клейна мы можем попасть абсолютно в любую точку, не отрываясь от поверхности.

Если бы мы жили во Вселенной с четырьмя макроскопическими пространственными измерениями, то бутылка Клейна раскрыла бы перед нами еще одно интересное свойство. В трехмерном случае то место, где тонкая часть бутылки Клейна врезается в стенку является для нас препятствием, однако в четырех измерениях это место перестает быть препятствием, что и иллюстрирует следующая анимация:

Если мы предположим, что бутылка Клейна состоит из какого-то неупругого материала, то мы можем пытаться выворачивать ее бесконечно, однако такой объект всегда будет сохранять свою форму и свои свойства.

Бутылка Клейна также не зависит от размеров. Этот объект можно увеличить, можно уменьшить, можно сжать, а можно растянуть, но он все равно не изменит своих математических свойств.

Помимо одной замкнутой поверхности бутылку Клейна и ленту Мебиуса объединяет кое-что большее. Если мы разделим бутылку Клейна вдоль ее линии симметрии, то мы получим ничто иное, как две одинаковые ленты Мебиуса. Единственным отличием этих лент будет являться то, что они будут представлять зеркальное отражение друг относительно друга.

Стоит заметить, что чтобы получить эталонные ленты Мебиуса, нужно выполнять данное разделение в четырехмерном пространстве, чтобы исключить проблему самопересечения.

Математика — это наука далеко не про цифры!