Технология применения равносильных преобразований в алгебраических соотношениях.

В данной работе изложен подход, который, на взгляд автора, способен эффективно устранить указанные недостатки алгебраической подготовки школьников. В основе указанного подхода лежит системное применение принципа преобразований алгебраических соотношений. Основные элементы данного подхода излагаются в виде следующих положений.

Классификация соотношений. Алгебраические соотношения разбиваются на 6 классов соответствий с входящими в них функциями (многочлены, с модулем, рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательно-логарифмические). В каждом из перечисленных классов выделяются соотношения канонического вида, которые могут быть решены с помощью непосредственного применения равносильных методов. Не являющиеся каноническими соотношения в подавляющем большинстве случаев можно привести к каноническим с помощью равносильных преобразований. Исключения могут составить соотношения иррационального и логарифмического класса. Однако в этом случае для большинства конкурсных задач достаточным для неизменности множества корней является вычисление области определения соотношения. К положительной стороне предлагаемой классификации можно отнести малочисленность используемых равносильных методов решения канонических классов: формулы корней, равносильные схемы, метод интервалов. Метод интервалов и является здесь единственным универсальным (применимым для всех классов функций) методом. Список равносильных схем (см. Приложение 1) в каждом из классов не превышает пяти и в принципе может быть ограничен тремя – для уравнения и двух видов неравенств.

Правила вывода (Modus ponens). Преобразования алгебраических соотношений происходят по правилам математической логики и теории множеств и могут быть описаны двумя теоретико-множественными (логическими) операциями – пересечения (логического умножения, логической зависимости) и объединения (логического сложения, логической независимости). В алгебраической записи им соответствуют фигурная скобка (система соотношений) и квадратная скобка (совокупность соотношений). Результатом всякого преобразования является освобождение от одного из присутствующих в исходном соотношении классов функций и, в конечном счете, получение за конечное число равносильных преобразований систем и совокупностей многочленов, как правило, не выше второй степени.

Описанный подход обладает достоинствами быстроты и надежности решения всех классов алгебраических соотношений за счет относительно небольшого набора необходимых теоретических сведений и логической ясности метода, что проявилось на подготовительных курсах, при чтении специальных курсов в гимназиях и школах как обычных, так и с повышенной математической подготовкой. На основе данного подхода теоретически и методически разработан курс обучения школьников решению такого сложного класса алгебраических задач, как задачи параметрического анализа, также апробированный в учебных заведениях и реализованный в виде графоаналитического обучающего комплекса.