?oxluqlar haqq?nda

Çoxluqlar

Çoxluq anlay???

Çoxluq riyaziyyat?n ilk riyazi anlay??lar?ndan biridir. O müxt?lif obyektl?rin (kitablar?n, d?ft?rl?rin, qoyunlar?n, atlar?n, ulduzlar?n, ?d?dl?rin, fiqurlar?n v? s.) toplusudur.

Çoxlu?u ?m?l? g?tir?n obyekt onun elementi adlan?r.

M?s?l?n: h?nd?si fiqurlardan ibar?t çoxlu?u h?nd?si fiqurlar çoxlugu adland?rsaq onun elementl?ri çevr?, dair?, uçbucaq, dördbucaq, prizma, pramida v? sair? olar.

    Çoxluqlar böyük möt?riz?l?rin köm?yi il? yaz?l?r, lat?n ?lifbas?n?n böyük h?rfl?ri A, B, C, ..., Z il? i?ar? olunur.

M?s?l?n: A = {a, b, c, ç}

a-n?n A çoxlu?unun elementi olmas? ∈ - daxildir i?ar?sinin köm?yi il? a ∈ A kimi, p-n?n A çoxlu?unun elementi olmamas? daxil deyil i?ar?si il? p ∈ A kimi yaz?l?r.

Çoxluqlar elementl?rinin say?na gör? sonlu v? sonsuz olur.

Sonlu sayda elementi olan çoxlu?a sonlu çoxluq deyilir.

?lifbam?zdak? h?rfl?r v? ya s?sl?r çoxluqlar? (32 h?rf, 34 s?s) sonlu çöxluqlard?r.

Elementl?rinin say? sonsuz olan çoxlu?a sonsuz çoxluq deyilir.

 Ulduzlar?n, ?d?dl?rin (natural ?d?dl?rin) ?m?l? g?tirdiyi çoxluqlar sonsuz çoxluqlard?r.

Natural ?d?dl?rd?n ibar?t olan çoxlu?a  natural ?d?dl?r çoxlu?u deyilir.

Natural ?d?dl?r çoxlu?u N = {1, 2, 3, 4, ...} ??klind? yaz?l?r. 1 ?n kiçik natural ?d?ddir, ?n böyük ?d?d yoxdur. Natural ?d?dl?r çoxlu?u sonsuz çoxluqdur.

Heç bir elementi olmayan çoxluq bo? çoxluq adlan?r v? Ø i?ar?si il? yaz?l?r.

 M?s?l?n: 7 v? 8 aras?nda yerl???n natural ?d?dl?r çoxlu?u bo? çoxluqdur (y?ni, 7 v? 8 aras?nda natural ?d?d yoxdur).

Çal??malar

1. 5 v? 15 ?d?dl?ri aras?nda yerl???n natural ?d?dl?r çoxlu?unu yaz?n. Bu çoxlu?un neç? elementi var? 0, 2, 5, 7,10, 14, 16, 20 ?d?dl?rind?n hans?lar? bu çoxlu?a daxildir, hans?lar? daxil deyil?

2. 10-a bölün?n ikir?q?mli ?d?dl?r çoxlu?unu yaz?n. Çoxlu?a daxil olan v? daxil olmayan bir neç??d?d göst?rin. 10 dan ki?ik v? 10-a bölün?n ?d?dl?r çoxlu?unu yaz?n.

3. Yaz?l???nda yaln?z 2, 8, 5 r?q?ml?ri i?tirak ed?n bütün ikir?q?mli v? üçr?q?mli ?d?dl?r çoxluqlar?n? yaz?n. Onlar? uy?un olaraq A v? B il? i?ar? edin. 28, 84, 58, 282, 52, 95, 295, 582, 85, 90, 825, 528 ?d?dl?rind?n hans?lar?n?n A-ya, hans?lar?n?n B-y? daxil oldu?unu v? ya heç bir çoxlu?a daxil olmad???n? göst?rin.

4. A?a??dak? ??rtl?r? uy?un çoxluqlar yaz?n. Onlardan sonlu v? sonsuz olanlar?n? mü?yy?nl??dirin. Bo? çoxlu?u göst?rin. Sonlu v? sonsuz çoxlu?a aid bir neç? nümun? yaz?n.

1) T?klikl?r m?rt?b?sind? 5 r?q?mi olan ikir?q?mli ?d?dl?r çoxlu?unu yaz?n.

2) Az?rbaycan ?razisind?n keç?n çay adlar?ndan ibar?t çoxluq yaz?n.

3) Cüt ?d?dl?r çoxlu?unu yaz?n.

4) ?kiy? bölün?n t?k ?d?dl?r çoxlu?unu yaz?n.

B?rab?r çoxluqlar. Alt çoxluq

Bir-birind?n yaln?z elementl?rinin düzülü?ü il? f?rql?n?n çoxluqlar b?rab?r çoxluqlard?r.

M?s?l?n: C = {3, 5, 7, 9} çoxlu?u D = {7, 5, 3, 9} çoxlu?una b?rab?rdir (C = D).

?g?r iki çoxluqdan birinin bütün elementl?ri o biri çoxlu?a daxildirs?, onda birinci çoxlu?a ikinci çoxlu?un alt çoxlu?u deyilir.

T?k ?d?dl?r çoxlu?u natural ?d?dl?r çoxlu?unun alt çoxlu?udur. T?k ?d?dl?r çoxlu?unu A = {1, 3, 5, 7,9, ...}, natural ?d?dl?r çoxlu?unu N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} kimi i?ar? ets?k, A⊂N olar.

?agird o?lan v? ya q?zlar ?agirdl?r çoxlu?unun, müst?vi v? ya f?za fiqurlar? h?nd?si fiqurlar çoxlu?unun alt çoxlu?udur.

B?rab?r çoxluqlardan biri dig?rinin alt çoxlu?udur.

Çal??malar

1. A = {13, 23, 33, 43, 53} çoxlu?una b?rab?r olan iki çoxluq yaz?n.

2. B = {a, ?, o, u} çoxlu?una b?rab?r çoxluqlar? yaz?n.

3. 10-a bölün?n ?d?dl?r çoxlu?u 5-? bölün?n ?d?dl?r çoxlu?una b?rab?rdirmi? Fikrinizi misallarla izah edin.

4. A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4, 5} çoxluqlar? verilmi?dir. A çoxlu?u bu çoxluqlardan hans?n?n alt çoxlu?udur? Cavab? alt çoxluq i?ar?sinin köm?yi il? yaz?n.

5. Q-qu?lar çoxlu?unu alt çoxluqlara ay?r?n v? i?ar? edin.

6. T?k v? cüt ?d?dl?r çoxlu?u hans? ?d?dl?r çoxlu?un alt çoxlu?udur.

7. H?rfl?rd?n v? ya r?q?ml?rd?n ibar?t müxt?lif çoxluqlar yaz?n.

a) Yazd???n?z çoxlu?a b?rab?r çöxluqlar? göst?rin.

b) Yazd???n?z çoxluqlar?n alt çoxluqlar?n? yaz?n.

Çoxluqlar?n birl??m?si

?ki çoxluqdan heç olmasa birin? (v? ya h?r ikisin?) daxil olan elementl?rd?n t??kil olunmu? çoxlu?a bu çoxluqlar?n birl??m?si deyilir.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} v? B = {4, 5, 7, 8} çoxluqlar?n?n birl??m?si A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} çoxlu?udur (U-birl??m? i?ar?sidir).

Çoxluqlar?n birl??m?sini Venn diaqram? vasit?sil? ?yan? ??kild? t?svir etm?k olar.

?st?nil?n çoxlu?un bo? çoxluqla birl??m?si özün? b?rab?rdir (A U Ø = A).

A U A = A

Çal??malar

1. C = {a, ?, o, u} v? D = {e, ?, i, ?, ü, ö, o} çoxluqlar?n?n birl??m?sini yaz?n.

2. T?k v? cüt ?d?dl?r çoxluqlar?n?n birl??m?sini yaz?n.

3. A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 3, 5, 6}, C = {0, 2, 4, 6} çoxluqlar? verilmi?dir. Tap?n:

 1) B U A 3) C U B 5) A U C

 2) C U A 4) A U B 6) B U C

4. Ev qu?lar? v? qu?lardan ibar?t çoxluqlar yaz?n v? onlar?n birl??m?sini tap?n.

5. R?q?ml?rd?n ibar?t dörd v? ya be? elementli K, L, M, E çöxluqlar?n? yaz?n v? a?a??dak? birl??m?l?ri tap?n.

 1) K U L 3) L U M 5) K U M

 2) (K U L) U M 4) K U (L U M) 6) (K U M) U (E U L)

6. A = {?, t, y, h, l, m, n, r} v? B = {?, p, ?, ç, t, y} çoxluqlar?n?n birl??m?sini Ven dioqram?n?n köm?yi il? göst?rin.

7. a) r?q?ml?rd?n, b) h?rfl?rd?n, c) h?rf v? r?q?ml?rd?n ibar?t ?ki v? daha çox sonlu çoxluq yaz?n v? birl??m?l?rini tap?n.

Çoxluqlar?n k?si?m?si

?ki çoxlu?un ortaq elementl?rind?n yaranan çoxlu?a bu çoxluqlar?n k?si?m?si deyilir.

Qutuda müxt?lif r?ngd? kür?l?r vard?. Aytac qutudan a?, sar?, mavi r?ngli, Orxan mavi, ya??l, b?növ??yi r?ngli kür?l?r götürdü. Hans? r?ngd? kür? u?aqlar?n h?r ikisind? var? – Mavi. Mavi r?ngd? u?aqlar?n zövqü eynidir, maraqlar? k?si?ir.

A = {a, ?, o, u} – qal?n saitl?r v? B = {o, ö, u, ü} – dodaqlanan saitl?r çoxluqlar?n?n ortaq elementl?rind?n t??kil olunmu? C = {o, u} çoxlu?una A v? B çoxluqlar?n?n k?si?m?si deyilir, C=A ∩ B kimi yaz?l?r. A ∩ B = {o, u}

Çoxluqlar?n k?si?m?sini Venn diaqram?n?n köm?yi il? daha ayd?n ??kild? t?svir etm?k olar.

Ortaq elementi olmayan çoxluqlar?n k?si?m?si bo? çoxluqdur.

C = {a, ?, o, u}, D = {?, i, ö, ü} olduqda, C ∩ D = Ø.

?st?nil?n çoxlu?un bo? çoxluqla k?si?m?si bo? çoxlu?a (C ∩ Ø = Ø), özü il? k?si?m?si özün? b?rab?rdir (C ∩ C = C).

Çal??malar

1. A = {14, 17, 20, 23, 26} v? B = {20, 21, 22, 23, 24, 25} çoxluqlar? verilib. A v? B çoxluqlar?n?n k?si?m?sini tap?n.

2. C = {1, 2, 4, 8, 16, 32} v? D = {2, 4, 6, 8, 10,12} çoxluqlar?n?n k?si?m?sini yaz?n v? cavab? Ven diaqram?nda göst?rin.

3. C = {a, 2, c, 4, 6} v? D = {4, b, c, 5} çoxluqlar? verilmi?dir. (a, b, c – h?r hans? ?d?ddir):

 a) C ∩ D yaz?n.

 b) C ∩ D v? C U D çoxluqlar?ndan hans? dig?rinin alt çoxlugudur?

 ç) C ∩ D Venn dair?l?rinin köm?yi il? t?svir edin.

4. A = {1, 2, 7, 8, 9, 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {8, 9, 10, 11} çoxluqlar? verilib. A?a??dak?lar? tap?n.

  1) A ∩ B 3) B ∩ C

  2) A ∩ (B ∩ C) 4) (A ∩ B) ∩ C

5. Müxt?lif obyektl?rd?n - a) r?q?ml?rd?n, b) h?rfl?rd?n, c) heyvan adlar?ndan, ç) bitki adlar?ndan v? s. Ibar?t iki sonlu çoxluq yaz?n v? çoxluqlar?n k?si?m?sini tap?n.

Çoxluqlara aid m?s?l?l?r

Çoxluqlarla ba?l? m?s?l?l?r ?sas?n, iki sonlu çoxlu?un birl??m?sind? elementl?rin say? düsturunun v? Venn diaqram?n?n köm?yi il? h?ll olunur.

1) ?ki sonlu çoxlu?un birl??m?sind? elementl?rin say? düsturu:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Burada n(A U B) çoxluqlar?n birl??m?sind? elementl?rin say?, n(A) – A çoxlu?undak?, n(B) – B çoxlu?undak?, n(A ∩ B) is? A v? B çoxluqlar?n?n k?si?m?sind?ki elementl?rin say?d?r.

Misal1. A={1, 3, 5, 7, 9, 11} v? B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} çoxluqlar?n?n birl??m?sind? elementl?rin say?n? tap?n.

Burada n(A) = 6, n(B) = 10 – dur. A ∩ B = {1, 3, 5, 7, 9} oldu?undan, n(A ∩ B) = 5 olar.

Veril?nl?ri yuxar?dak? düsturda n?z?r? alsaq çoxluqlar?n birl??m?sind?ki elementl?rin say?n? tapa bil?rik.

n(A U B) = 6 + 10 – 5 = 11

Çoxluqlar?n adi qayda il? birl??m?sini tapsaq eyni n?tic? alar?q.

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11}, n(A U B) = 11

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) düsturundan düsturdak? ifad?l?rd?n hans?sa biri nam?lum olduqda v? m?s?l? h?llind? istifad? olunur.

Misal 2. n(A U B) = 15, n(A) = 8, n(B) = 10, n(A ∩ B) – ni tap?n.

H?lli: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

15 = 8 + 10 - n(A ∩ B)

n(A ∩ B) = 18 - 15

n(A ∩ B) = 3

Misal 3. Be?inci sinif ?agirdl?rinin 12-si ingilis, 8-i rus, 4-ü is? h?m ingilis, h?m rus dilini öyr?nir. Bu sinifd? neç? ?agird var?

H?lli: n(A) = 12 (ingilis dili), n(B) = 8 (rus dili), n(A ∩ B) = 4 (rus v? ingilis), n(A U B) – ni ( sinifd?ki ?agirdl?rin say?n?) tapaq.

n(A U B) = 12 + 8 – 4

n(A U B) = 16

M?s?l?ni Venn diaqram?n?n köm?yi il? h?ll ed?k.

1) Venn diaqramlar?n? ç?kirik.

2) n(A ∩ B) = 4 – ü diaqramlar?n k?si?diyi yerd? yerl??diririk.

3) ?ngilis dilini göst?r?n çoxluqda 12 – 4 = 8, rus dilini göst?r?n çoxluqda 8 – 4 = 4 yaz?r?q.

Bununla da ?agirdl?rin say? 8 + 4 + 4 = 16 olur. H?m?inin diaqramdan ingilis dilind? 8, rus dilind? 4 ?ag?rd i?tirak etdiyi d? görünür.

Çal??malar

1. Natural ?d?dl?rd?n ibar?t iki sonlu çoxluq yaz?n. Onlar?n k?si?m?sind? v? birl??m?sind? elementl?rin say?n? tap?n.

2. H?rfl?rd?n ibar?t iki müxt?lif çoxluq yaz?n. n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) düsturu il? çoxluqlar?n birl??m?sind?ki elementl?rin say?n? tap?n.

3. n(A) = 23, n(A ∩ B) = 4, n(A U B) = 30, n(B) - ni tap?n.

4. Sinifd?ki 28 ?agirdd?n 19-u musiqi il? 16-s? idmanla m???ul olur. Neç? ?agird h?m musiqi, h?m d? idmanla m???ul olur?

5. V sinifd?ki 28 ?agirdd?n h?r biri ya S?m?d Vur?unun, ya da B?xtiyar Vahabzad?nin heç olmazsa bir ?eirini ?zb?r bilir. Yaln?z S?m?d Vur?unun ?erini bil?nl?r 20 n?f?r, B?xtiyar Vahabzad?nin ?eirni bil?nl?r is? 16 n?f?rdir. ?agirdl?rd?n neç?si h?m S?m?d Vur?unun, h?m d? B?xtiyar Vahabzad?nin ?eirl?rini ?zb?r bilirl?r?

D?rs nümun?si

Mövzu: Ven diaqram?n?n t?tbiqi il? m?s?l? h?lli

Standartlar: 1.1.4. ?ki sonlu çoxlu?un birl??m?sini v? k?si?m?sini tap?r.

D?rsin m?qs?di.

1) Mü?yy?n  qanunauy?unluqlara ?sas?n verilmi? çoxluqlar? yaz?r.

2) Çoxluqlar?n k?si?m?sini v? birl??m?sini tap?r.

3) ?ki çoxlu?un k?si?m?sini v? birl??m?sini Ven diaqramlari il? t?qdim edir.

4) Çoxluqlara aid m?s?l?l?ri Ven dioqram?n?n t?tbiqi il? h?ll edir.

D?rsin tipi: ?nduktiv

?? formalar?: F?rdi i?, cütl?rl? i?.

Üsullar?: Müzakir?, beyin h?ml?si.

?nteqrasiya: H?yat bilgisi, az?rbaycan dili, çoxluqlara aid mövzular

Resurslar: d?rslik, i? v?r?ql?ri, kompyuter, proyektor

D?rsin m?rh?l?l?ri:

Motivasiya, problemin qoyulu?u

Kiçik bir hekay? oxuyuram. 

                                                      H?yat

Tanr? yaratd??? varl?qlar? müxt?lif çoxluqlarda yerl??dir?r?k h?yat kür?sini nizamlad?. Zamanla çoxluqlar birl???r?k böyüm?k, k?si??r?k ortaq n?tic?y? g?lib zamana hakim olmaq ist?dil?r. Lakin, n? q?d?r geni?l?ns?l?r d? dair?vi m?kan?n elementi olaraq t?krarlanan zamandan as?l? oldular. Birl??dikd? f?rqli elementl?rd?n, k?si?dikd? yaln?z ortaq elementl?rd?n ibar?t olduqlar?ndan h?yat?n-gün??in, torpa??n, havan?n, suyun bir hiss?si oldular.

Sinf? a?a??dak? suallarla müraci?t edir?m:

1) Na??ldak? k?si?m? v? birl??m? haqq?nda n? dey? bil?rsiniz?

R?q?ml?rd?n v? ya h?rfl?rd?n ibar?t müxt?lif çoxluqlar yaz?ram. Onlar?n birl??m?sini v? k?si?m?sini tap?r?q.

 v?  çoxluqlar?n?n birl??m?sini yaz?n.

 v? çoxluqlar?n?n k?si?m?sini tap?n v? onu Venn diaqram?nda t?svir edin.

?nternetd?n qu?lar haqq?nda m?lumat axtar?r?q. Onlar? mü?yy?n qanunauy?unluqlara gör? (m?s?l?n, ?t v? ot yey?n heyvanlar) çoxluqlara ay?r?r?q. Çoxluqlar?n k?si?m?sini v? birl??m?sini tap?r?q.

T?dqiqat  sual?: Çoxluqlara aid m?s?l?l?ri Venn diaqram?nda t?svir etm?kl? h?ll etm?k olarm??

T?dqiqat?n apar?lmas?

??kill?r nümayi? etdirir?m.

a)                                                                                  b)

?agirdl?rd?n a) v? b) ??kill?rind?ki na??llarda hans? personajlar i?tirak etdiyini soru?uram. Onlar ??kill?r? A v? B çoxluqlar? kimi bax?b ,  yaz?rlar.

Sonra tülkünün hiyl?g?rliyini ?ks etdir?n h?r iki ??kild? birlikd? neç? personaj oldu?unu soru?uram?

Bu i?i çoxluqlar?n birl??m?sini Ven diqram?nda t?svir etm?kl? yerin? yetirm?l?rini tap??r?ram.

?agirdl?r veril?nl?ri Ven diaqram?nda t?svir etm?kl? na??llardak? personajlar? mü?yy?nl??dirirl?r. T?svirl?ri Paint proqram?nda ç?kirl?r.

Diqq?ti m?s?l? h?llin?  yön?ltm?k üçün ?agirdl?r? f?rdi yana??r v? onlara iki variantda haz?rlad???m i? v?r?ql?rini paylay?ram. Onlar tap??r?qlar? i?l?y?r?k h?m çoxluqlar?n k?si?m?sini v? birl??m?sini tap?r, h?m d? ??kill?r? uy?un m?s?l?l?ri Venn diaqram?n?n köm?yi il? h?ll edirl?r.

?? v?r?qi 1

 v?  çoxluqlar?n?n birl??m?sini yaz?n.

2) M?s?l?.

a)                                                                                     b)

,  olarsa, t?hsil üçün laz?m olan amill?ri tap?n.

?? v?r?qi 2

1)   r?q?ml?rd?n,  h?rfl?rd?n,  h?rf v? r?q?ml?rd?n ibar?t iki v? daha çox sonlu çoxluq yaz?n v? onlar?n birl??m?l?rini tap?n.

2)

                 c)                                                                                 ç)        

,    olarsa, çoxluqlar? Ven diaqram?nda t?svir etm?kl? ??kill?rd? t?svir olunmu? hesab ?m?ll?rini tap?n.

    Tap??r?qlar?n i?l?nm?sin? ayr?lan vaxt bitdikd?n sonra h?r variantdan bir n?f?r i?ini t?qdim edir. Müzakir? apar?r?q, s?hv v? düzgün cavablar? mü?yy?nl??diririk.

    Ven diaqram?nda m?s?l?l?rin h?lli üçün a?a??dak? n?tic?y? g?lirik.

    1) ?vv?lc? h?r iki çoxlu?a aid olan elementl?ri diaqramlar?n k?si?dikl?ri hiss?d? yerl??dirm?liyik. Elementl?ri diaqramda nöqt?l?rl?, i?ar?l?rl?, r?q?ml? v? s. ?ösr?rm?k olar.

    2) F?rqli elementl?ri diaqramlar?n k?si?m?dikl?ri hiss?l?rd? qeyd edirik. Bu zaman diaqram?n bütün hiss?l?rind?ki elementl?rin say? çoxluqlardak? elementl?rin say?na b?rab?r olur.

Yarad?c? t?tbiqetm?

Müzakir?l?rd?n sonra cütl?r üçün haz?rlad???m i? v?r?ql?rini paylay?ram.

?? v?r?qi 1

1) Natural ?d?dl?rd?n ibar?t iki sonlu çoxluq yaz?n. Onlar?n k?si?m?sind? v? birl??m?sind? elementl?rin say?n? tap?n.

2) Sinifd?ki  ?agirdd?n -u musiqi il? -s? idmanla m???ul olur. Neç? ?agird h?m musiqi, h?m d? idmanla m???ul olur?

?? v?r?qi 2

1) H?rfl?rd?n ibar?t iki müxt?lif çoxluq yaz?n. Onlar?n k?si?m?sind? v? birl??m?sind? elementl?rin say?n? tap?n.

2) V sinifd?ki 28 ?agirdd?n h?r biri ya S?m?d Vur?unun, ya da B?xtiyar Vahabzad?nin heç olmazsa bir ?eirini ?zb?r bilir. Yaln?z S?m?d Vur?unun ?erini bil?nl?r 20 n?f?r, B?xtiyar Vahabzad?nin ?eirni bil?nl?r is? 16 n?f?rdir. ?agirdl?rd?n neç?si h?m S?m?d Vur?unun, h?m d? B?xtiyar Vahabzad?nin ?eirl?rini ?zb?r bilirl?r?

H?r variantdan bir cüt i?ini t?qdim edir. Müzakir?l?ri yekunla?d?r?r?q.

?agirdl?r? evd? xo?lad?qlar? meyv? v? t?r?v?zl?r haqq?nda internetd?n m?lumat toplama??, yolda?? il? ortaq zovql?rini (1 n?f?rl?) mü?yy?nl??dirm?yi tap??r?ram. 

Mü?llif: Nurlan Quliyeva