Определители. Методы вычисления определителей n–го порядка

Лекция

Определители. Методы вычисления определителей n–го порядка.

1. Определение определителя. Понятие определителя 2, 3-го порядка.

2. Свойства определителей.

3. Теорема Лапласа и ее следствие.

4. Методы вычисления n-го порядка.

Определение определителя.

Определение 1. Определителем квадратной матрицы или просто определителем (детерминант) называется число, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по ее элементам.

Определитель матрицы А обозначают:

∆= =.

Элементы, строки, столбцы матрицы называются соответственно элементами, строками, столбцами определителя матрицы.

Понятие определителя 2, 3-го порядка.

Квадратичная матрица первого порядка состоит из одного элемента, поэтому ее определитель равен самому элементу ∆= =.

Определение 2. Определителем или детерминантом второго порядка, соответствующим матрице (1), называется число, равное разности произведений элементов стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали.

(1)

ЗАДАНИЕ 1. Найти определитель

1) ; 2) .

Решение.

1) ;

2) .

Определение 3. Определителем или детерминантом третьего порядка, соответствующим матрице (2), называется число равное

(2).

Для запоминания формулы (2) можно использовать следующее правило, которое называют правило треугольников (правило Сарруса).

Определитель третьего порядка равен алгебраической сумме шести произведений. Со знаком + берутся произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком – берутся произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. Т.е.:

= – .

ЗАДАНИЕ 2. Найти определитель

Решение.

Свойства определителей.

1⁰. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

,

2⁰. Перестановка двух строк или столбцов определителя равносильна умножению его на (-1).

3⁰. Если определитель имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю.

4⁰. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на любое число l равносильно умножению определителя на это число l.

,

5⁰. Если все элементы некоторого столбца или строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6⁰. Если элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7⁰. Если каждый элемент любого столбца или любой строки определителя представлен в виде двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей.

, аналогично для определителей 2-го порядка.

8⁰. Если к элементам некоторой строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на любой общий множитель l, то величина определителя не изменится.

Теорема Лапласа и ее следствие.

Определение 4. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент, т.е. i – ой строки и j – го столбца.

Определение 5. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на , т.е. .

Теорема. Пусть в определителе порядка n произвольно выбрано k строк (или k столбцов), где 1≤k≤n-1.Тогда определитель равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Частный случай теоремы Лапласа – разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть A=(aij) – квадратная матрица размера n×n. Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по i-й строке:

detA=j=1naijAij

Разложение по j-й строке:

detA=i=1naijAij,

где Aij – алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j.

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать -ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Следствие 1. Определитель равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Например: =.

Следствие 2. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или строки равна нулю.

Например: или .

Методы вычисления определителей n–го порядка.

Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n. Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием следствий из теоремы Лапласа.

Используя следствие 1, введем определение понятия определителя 4-го порядка:

.

ЗАДАНИЕ 3. Вычислить, используя подходящее разложение.

Решение.

Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n:

.

Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.

Рассмотрим основные методы вычисления определителей n-го порядка.

Метод понижения порядка определителя основан на следующем соотношении (i фиксированное число): , где А_ik алгебраические дополнения к (разложение определителя по i-ой строке). Либо (разложение по j-тому столбцу).

Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца (метод эффективного понижения порядка).

Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить, приведением к треугольному виду.

Решение.

ЗАДАНИЕ 5. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка

.

Решение: по свойству 4⁰ определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8⁰).

.

Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу треугольника.

ЗАДАНИЕ 6. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.

Решение.

.