Математика

Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В нее входят такие дисциплины, как арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, высшая математика (аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления и др.). Каждая из них изучает количественные отношения и пространственные формы мира в особом аспекте и действует своими собственными методами. Математика характеризуется высокой степенью абстрактности ее понятий (точки, не имеющие площади, линии без толщины, множества любых предметов и т.п.) и высокой степенью их общности (в алгебре буква обозначает любое число, в математической логике рассматривается структура произвольных высказываний). Предмет математики в действительном мире - это пространственные формы и количественные отношения мироздания. Отсюда вытекает проблема выделения количественных отношений в чистом виде, то есть возникает вопрос, как описать отношения равенства, принадлежности, соизмеримости, геометрические отношения и т.п. таким образом, чтобы это описание не зависело от содержания объектов. Это проблема создания метода, адекватного предмету исследования. В ходе становления и развития математики постепенно формировались ее основные методы такие, как анализ и синтез, индукция и дедукция, обобщение и абстрагирование, аналогия и различные типы аксиоматик - содержательная, полуформальная и формальная. Среди обозначенных методов, применяемых в математике для выделения формы в чистом виде и ее изучения, специфическим методом математики является только аксиоматический метод. Это способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются дедуктивно как логические следствия аксиом. Теория, созданная на основе этого метода, называется аксиоматической. В аксиоматической теории все термины разделяются на исходные и производные, а все предложения – на недоказуемые (аксиомы) и доказуемые (теоремы). Считается, что система аксиом, положенная в основу аксиоматической теории должна характеризоваться полнотой и независимостью, а сама аксиоматическая теория – непротиворечивостью. Однако эти три принципа выполняются далеко не всегда.