«Решение квадратных уравнений»

Цели урока:

Образовательная.  Повторить методы решения неполных квадратных уравнений, изучить прием решения квадратного уравнения по формуле, вывести формулу корней квадратного уравнения ах²+вх+с=0 и закрепить его.

Развивающая. Развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательная. Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, коллективизма, культуры общения.

 Оборудование. Мультимедиапроектор, презентация к уроку, карточки с раздаточным материалом, тесты.

Ход урока.

1. Организационная часть.

Наличие тетрадей, учебников, запись в дневниках домашнего задания.

1. Повторение изученного материала.

Работа учащихся по тестам.

Тест №1.

Вариант 1.

1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.

1. Для уравнения 7х²+14х-21=0 приведенным является

(Обвести цифры, стоящие возле правильных ответов)

Тест № 2

Вариант 1.

1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.

1. Для уравнения 7х²+14х-21=0 приведенным является

Устная работа с классом.

1. Назовите уравнения

11х²-49=0; 

а) приведенные,

б) неполные квадратные уравнения,

в) уравнения, у которых второй коэффициент равен 2.

Вопросы по повторению:

Что такое квадратное уравнение? Какие они бывают?

Какие уравнения называются неполными квадратными? Назовите их виды.

Решить уравнения:

а) 7х²-7=0; 7х²=7; х²=1; х_1,2=± ; х_1,2=±1.

б) 5х²-2х=0; х(5х-2)=0; х=0 или х=0,4.

Двое учащихся работают по карточкам у доски (3 мин.)

Задание 1.

а) приведите уравнения (3х+2)²=(х+2)(х-3) к виду ах²+вх+с=0.

(Ответ: 8х²+13х+10=0).

б) решите уравнение х²-5=(х+5)(2х-1). (Ответ: х=0)

Задание 2.

а) замените данное уравнение х²+(1-х)(1-3х)= х  уравнением ах²+вх+с=0.

(Ответ: 4х²-5х+1=0).

б) решите уравнение 6а²-(а+2)²=-4(а-4). (Ответ: а=±2).

Проверка заданий проводится фронтально. Учащиеся находят ошибки, задают дополнительные вопросы. Оценивают работу отвечающих.

1. Изучение нового материала.

Слайд №1.

« Для разыскания истины вещей – необходим метод»

Рене Декарт

Портрет Рене Декарта.

Доклад, подготовленный учеником дома, читает классу.

« Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений (х²-х)= а умели решать вавилонские (примерно за 2 тысячи лет до н. э.). Некоторые виды квадратных уравнений решали древнегреческие математики, сводя их  геометрическим построениям.

Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах²+вх+с=0, где а >0, дал индийский ученый Брахмапурта ( VII в.). Вывод формулы корней  квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики XVI в. учитывают помимо  положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и др. ученых способ решения квадратных уравнений принимают современный вид.

Во время сообщения демонстрируются слайды с портретами ученых.

Вывод формулы корней квадратного уравнения.

Сегодня изучим способ решения, который позволяет быстро находить корни уравнения, для  этого выведем формулу корней квадратного уравнения и точно научимся определять: есть ли они и сколько их.

а( х²+ x+ )=0

Какое преобразование выполнено? На основании какого свойства уравнения? Почему? Когда произведение равно 0?

• x+ =0.

Выделим полный квадрат двучлена:

• x+ ²+2х* +( )² )²+ =(х+ )² - +  Почему?

• )² - + =0;
• )² =  - ,  a≠о;

В правой части приведем дроби к общему знаменателю

• )² = ; где =D, где буквой D обозначим                                  « дискриминант».

т. е. (х+ )=± ;  х = - ± ;

• ,

где D=  - дискриминант квадратного уравнения.

Учитель. Дискриминант дает возможность определить число корней квадратного уравнения. В математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, «дискриминация». Что оно означает?

Правильно. Оно означает унижение одних и возвышение других, то есть различное отношение к различным людям. Оба слова ( и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского – «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Если D>0, то уравнение имеет 2 корня,

если D=0, то уравнение имеет 1 корень,

если D<0, то уравнение  не имеет действительных корней.

Слайд № 3.

Сколько корней имеет уравнение -6х+1=0? Найдите их.

Проецируется парабола и количество корней.

Ответ: D=16; х₁=1, х₂=0,2.

Задание на слайде №4.

В уравнениях

• -5х+2=0

а=    , b=    ,с=    

1. = =
2.  
3. -7х+4=0

а=    , b=    ,с=    

1. =
2. =

Проверка записана на слайде с ответами.

Учащиеся сверяют свои ответы с решениями, проводится самооценка своей работы.

Работа с учебником. Проводится на двух уровнях. На доске  написано задание для каждого уровня. Ученики работают в тетрадях. Каждый выполняет задания по своему уровню

1 уровень № 641 (а, б)

2 уровень № 545 (а, б).

 На доске проецируются решения и ответы по заданиям своего уровня. Учащиеся обмениваются тетрадями и выставляют друг другу оценки.

1. Самостоятельная работа.

Проводится дифференцированно по группам (на листочках под копирку).

 Решить уравнения

1. группа                                                            II группа           
2. +5 +6=0                                               а)  =2 +6

б)   +8 +1=0                                            б)  ( -2)( +2)=5 -10

1.                                           группа

                                           а) =

б)  ( -3)( +3)=5 -13

Проверка самостоятельной работы проводится на уроке опять с помощью проекции.

1. группа 

 а)  +5 +6=0;                         

     б) +8 +1=0

а=1;  b=5; с=6;                                         а=7;  b=8; с=1; 

1. = =25 - 4*1*6=1;                    D= =64- 4*7*1=36;                                                                              

             ₁= = ₁= =  

  ₂= =                             ₂= =    

1.   группа 

 а) =2 +6;

  +6  +9=2 +6;  

  +4  +3=0;

1. ( -2)( +2)=5  -10              

  - 4=5  -10

  -5  +6=0;      

1.   =16 - 4*1*3=4;                                       D=25 - 4*6*1=1;

  ₁=   ₁=  

  ₂=                                             ₂=                                                                                        

1.    группа

        а) = ;

+3 =2 -10;  

  -17  +10=0;

1.  =289 - 4*6*10=49;                                             

  ₁=  

  ₂=     

Критерии оценок:

«5» - за 2 верно выполненных задания;

«4»- за  2 верно выполненных задания, но допущена 1вычислительная ошибка; 

«3»- за  2 верно выполненных задания, но допущена грубая ошибка;                                         

 «2» - за 1 выполненное задание или не выполнено ни 1 задания.

1. Домашнее задание

П.21, № 553(б),  №541(а, д), №536.

1. Подведение итогов урока

Что нового мы сегодня узнали на уроке?

Что научились делать?

Что такое корень квадратного уравнения?

Как называется выражение?

По какой формуле вычисляется корень квадратного уравнения?

Из данных уравнений выберите квадратные:

+7  -6=0;

-11=0;

1. - =-19.

Сколько корней у уравнения, если D>0? D=0? D<0?

Заканчиваем урок словами:

Квадратные уравнения прошли,

Итог сегодня подвели.

Смелей шагайте вы вперед,

Много нового вас ждет.

Спасибо вам за знания,

За ваши все старания!

И великий французский писатель Эмиль Золя: « Весь смысл жизни заключается в бесконечном завоевании неизвестного, в вечном усилии познать больше».