Решение систем двух уравнений с двумя переменными различными способами"

ВВЕДЕНИЕ При изучении темы «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» происходит формирование всех функциональных понятий и выработка соответствующих навыков, изучение функций сопровождается рассмотрением примеров реальных зависимостей между величинами, что способствует усилению прикладной направленности курса алгебры. Цели и задачи раздела «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» Цели раздела: • Формирование представления о системе двух линейных уравнений с двумя переменными.. Основные задачи при изучении учебного материала темы: • Учебные – познакомить учащихся с системой двух линейного уравнения с двумя переменными ax+by+c=0; умений и навыков построения графика уравнения ax+by+c=0 и решения задач с помощью уравнения ax+by+c=0; умения использовать метода подстановки для решения систем уравнений, метода алгебраического сложения, также системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций. • Воспитательные – способствовать воспитанию интереса к предмету через использование игровых приемов и занимательных задач; воспитанию культуры общения через применение коллективной работы на уроках ; соблюдению речевого этикета; развитию навыков и умений учебного труда через различные формы контроля, организацию работы в группах, работу с учебником; воспитание умений применять изученный материал в практических ситуациях. • Развивающие - содействовать развитию творческого мышления через алгоритмизированное решение творческих задач; развитие речи, интереса, памяти и воображения через применение специальных заданий и методик. Возраст учащихся 7 класса относится к подростковому. В это время отмечается мощный подъем жизнедеятельности, глубокая перестройка организма. Происходит формирование личности, переход от детства к юности. Семиклассники характеризуются резким возрастанием познавательной активности и любознательности, развитием познавательных интересов. Подростки способны к самостоятельному творческому мышлению, рассуждению, сравнению, к выводам и обобщениям. Внимание и память приобретают характер организованных и управляемых процессов. Быстро развиваются смысловая логическая память, понятийное мышление. Мышление подростка приобретает способность строить логичные рассуждения на основе выдвинутых гипотез. Волевые проявления у подростков имеют свои особенности: резко возрастает смелость, но снижается выдержка и самообладание, настойчивость проявляется только в интересной работе, снижается дисциплинированность, усиливается проявление упрямства. Основным в этот период развития личности является становление самостоятельности. Подростки начинают ощущать способность ставить перед собой и самостоятельно решать некоторые практические задачи. Происходит развитие самосознания и самооценки, возникновение интереса к себе, к своим качествам, потребность сравнивать себя с другими. С развитием самосознания возникает стремление к самовоспитанию. Эти особенности возрастного развития создают предпосылки для включения подростков в активную познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата). Эмоциональное состояние подростка связанно с эмоциональным климатом всего коллектива. Занятия раскрывают привлекательность совместной деятельности, осознание понятия «мы», развивают чувство долга, ответственности перед товарищами, веру в свои силы. При проведении уроков в 7 классе следует использовать парную и групповую работу, дав, тем самым возможность учащимся общаться друг с другом, научиться слушать собеседника, отстаивать свою точку зрения, совместно находить оригинальное решение поставленной задачи. Содержание главы позволяет предлагать учащимся задания на развитие понятийного мышления, развитие способности строить логичные рассуждения, мысленно решать задачи. I КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ Основная цель при решении систем линейных уравнений – решить систему уравнений, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются: 1 - графический способ, 2. - способ подстановки, 3 - способ сложения, 4 - способ введения новых переменных. Существуют различные приёмы решения систем уравнений. Метод подстановки заключается в следующем: 1. Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y); 2. Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной; 3. Находят корни этого уравнения; 4. Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y). Метод сложения основан на следующих теоремах: 1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной; 2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов: 1. Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы; 2. Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений. Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков. Практическое применение этих способов - это решение задач, по алгебре, физике, химии, геометрии. Кроме этого умение определить без построения графиков число решений системы линейных уравнений с числовыми коэффициентами. Основная цель, которая ставится при изучении темы - понять, то, что вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений (если исключить выраженный случай а=0, в=0 для линейного уравнения ах + ву = с) сводиться к определению числа общих точек прямых, являющимися графиками уравнений системы. Известно, что графиком линейного уравнения является прямая. Рассмотрим три случая расположения прямой. Случай 1. Прямые, являющиеся графиком уравнения, входящих в эту систему, пересекаются. Решим систему уравнений: 11х + 10у = 120, у = -1,1х + 12, 6х + у = 18. у = -6х + 18. Уравнениями у = - 1,1х + 12 и у = - 6х + 18 задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками этих функций, различны. Значит, эти прямые пересекаются, и система имеет единственное решение. Прировняв правые части уравнений, найдем точку пересечения Данная система имеет единственное решение: пара чисел. Случай 2. Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны. Решим систему уравнений: 8х + 20у = 3, у = -0,4х + 0,15, 2х + 5у = 16. у = -0,4х + 3,2. Прямые, являющиеся графиками линейных функций у = - 0,4х+0,15 и у = - 0,4х+3,2, параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений. Случай 3. Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают. 5х + 2у = -18, у = -2,5х - 9, 15х + 6у = -54. у = -2.5х - 9. Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел (х; у), в которой х - произвольное число, а у = - 2,5х - 9, является решением системы. Система имеет бесконечно много решений. Главная проблема при решении системы линейных уравнений графическим способом у учащихся это? • не умения, выражать одну переменную через другую. • не правильное построение системы координат (различный единичный отрезок на осях ординат и абсцисс). Рассмотрим способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными, называемый способом подстановки. Начнем с задачи. Ученик задумал два числа. Первое число на 7 больше второго. Если от утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 27 Какие числа задумал ученик? Решение: Пусть х - первое число, у - второе число. По условию задачи составим систему уравнений. х - у = 7, 3х - 2у = 27. В первом уравнении выразим х через у: х = у + 7. Подставив во второе уравнение вместо переменной х выражение х = у + 7, получим систему х = 7 - у, 3(у + 7) - 2у = 27. Второе уравнение системы представляет собой уравнение с одной переменной. Решим его: 3у + 21 - 2у = 27; у=6. Подставив в первое уравнение системы вместо переменной у ее значение, равное 6, получим: х=6+ 7; х= 13. Пара чисел (13;6) является решением системы. Ответ: 13; 6. Главная проблема при решении системы линейных уравнений способом подстановки у учащихся это? • не умения, выражать одну переменную через другую. • не умение, подставить уже полученную переменную (не видят) Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. Решим систему уравнений: 2х + 3у = -5, (1) х - 3у = 38. В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами. Сложив почтенно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной: 3х = 33. Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением 3х=33. Получим систему: 3х = 33, (2) х - 3у = 38. Система (2) равносильна системе (1). Решим систему (2). Из уравнения 3х=33 находим, что х=11. Подставив это значение х в уравнение х-3у=38, получим уравнение с переменной у. Решим это уравнение: 11 - 3у = 38; 3у = 27, у = -9. Пара (11; - 9) - решение системы (2), а значит, и данной системы (1). Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы (1) коэффициенты при у являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (2), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. Геометрически равносильность систем (1) и (2) означает, что графики уравнений 2х + 3у = - 5 и х - 3у = 38 пересекаются. Главная проблема при решении системы линейных уравнений способом подстановки у учащихся это? • не умение, подставить уже полученную переменную (не видят) Метод введения новых переменных - его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой). Пример. Решим систему уравнений 2/х + 3/у = 8; 1/х + 2/у = 1. Решение. Обозначим 1/х через u, а 1/у через v. Тогда система примет вид 2u + 3v = 8; u + 2v = 1. т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v. Из второго уравнения выражаем u через v: u = 1 - 2v, и подставляем в первое: 2(1 - 2v) + 3v = 8, откуда v = -6. Теперь находим u = 13 и решаем уравнения 1/x = 6, 1/y = 13. Ответ: x = 1, y = 0,5. Проанализировав основные проблемы решение линейных систем уравнений с двумя переменными, можно сделать вывод: Главная проблема при решении систем линейных уравнений различными способами у учащихся это? • не умение, выражать одну переменную через другую. (в трех случаях) • не умение, подставить уже полученную переменную (в двух случаях) И обе эти проблемы встречаются при решении линейных систем уравнений способом подстановки. Кроме этого, решение задач составлением систем уравнений, по физике, алгебре, геометрии и химии для таких учащихся останутся недоступными. Поэтому надо заниматься поиском более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки. II МЕТОДЫ, ПРИЕМЫ, ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ При изучении алгебры в 7 классе использую различные методы и средства обучения, а также различные формы организации учебной деятельности. На уроках главы 3 «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» используются такие методы, как: • словесные методы обучения (рассказ, объяснение, лекция, беседа (репродуктивная и поисковая), работа с учебником); • наглядные методы (иллюстрация, демонстрация наглядных пособий, презентаций, таблиц, рисунков); • практические методы (устные и письменные упражнения, практические работы); • активные методы (дидактические игры, анализ контрольных ситуаций, решение проблемных задач, обучение алгоритму); • индуктивный и дедуктивный. Каждый метод рассматривают как определенную систему приемов. Используют приемы общей (внешней) организации учебной деятельности (приемы слушания, наблюдения, планирования работы с учебником, компьютером, пересказа информации, самоконтроля, организации домашней работы) и приемы познавательной (внутренней) деятельности (приемы внимания, запоминания, приемы словесного описания, объяснения, приемы постановки вопросов и проблем, приемы рефлексии, приемы оперирования образами, суждениями, понятиями). На уроке алгебры при изучении темы «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» используют различные формы организации учебной деятельности учащихся: • коллективную; • фронтальную; • групповую; • парную; • индивидуальную. В поурочное планирование включаю четыре вида занятий: 1) урок на изучение нового материала; 2) урок на отработку и закрепление пройденного материала; 3) урок контроля знаний (контрольная работа); 4) урок контроля знаний (тематический зачет). Основные типы уроков: 1. урок усвоения новых знаний; 2. урок закрепления изученного материала; 3. урок повторения; 4. урок систематизации и обобщения нового материала; 5. урок проверки и оценки знаний; 6. комбинированный урок. III СИСТЕМА ЗНАНИЙ И СИСТЕМА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Предметные знания: двух линейное уравнение с двумя переменными (ах+bх+с = 0); решение двух линейного уравнения с двумя переменными; метод подстановки, алгебраический метод сложения, системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций Система деятельности по главе: 1. Познавательная деятельность: выбор оснований, критериев для сравнения, оценки и классификации объектов; установление причинно-следственных связей, выдвижение гипотез и их доказательство. 2. Преобразующая деятельность: способы самообразования, способы поиска новых путей решения, проблем, действия в ситуации неопределенности. 3. Общеучебная деятельность: саморазвитие и самосовершенствование, способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, взаимообучение, взаимооценка. 4. Самоорганизующая деятельность: целеполагание как самостоятельная постановка учебной задачи, планирование-определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата, прогнозирование – предвосхищение результата и уровня усвоения, самоконтроль, самооценка, волевая саморегуляция. IV КОНТРОЛЬ И КОРРЕКЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ПО РАЗДЕЛУ Контроль – составная часть процесса обучения, он призван установить степень достижения целей обучения, проверить, на каком уровне сформированы знания и умения учеников. Контроль должен выявлять уровень развития учащихся. Основная функция контроля – проверить и оценить знания. При изучении главы «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» использую текущий и периодический контроль. Методы проверки знаний: наблюдение, устный контроль, письменная проверка, дидактические тесты, практическая работа. При изучении главы «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» используются: • самостоятельные работы; • математические диктанты; • письменные опросы; • зачет; • тест; • контрольная работа по теме. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате изучения данного раздела алгебры: Учащиеся 7 класса должны: Знать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, система уравнений, знать различные способы решения систем уравнений с двумя переменными: способ подстановки, способ сложения; понимать, что уравнение – это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики. Уметь правильно употреблять термины: «уравнение с двумя переменными», «система»; понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить систему уравнений с двумя переменными»; строить некоторые графики уравнения с двумя переменными; решать системы уравнений с двумя переменными различными способами. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бурмистрова Т.А. Программы образовательных учреждений.: Алгебра 7-9 – М: Просвещение,2009. 2. Зубарева И.И. Программы: Алгебра 7-9 – М: Мнемозина, 2010. 3. Колеченко А.К. Энциклопедия педагогических технологий – изд. КАРО, С-Петербург, 2002. 4. Конаржевский Ю.А. Анализ урока – М: Центр «Педагогический поиск», 2000. 5. Григорьева Г.И. Нестандартные уроки по алгебре 7-9 кл. – Волгоград: ООО «Экстремум», 2006. 6. Кузнецов А.А. Примерные программы второго поколения – М: Просвещение, 2009. 7. Голубева Л.В. Анализ урока – Волгоград: Учитель, 2007 8. Глейзер Г.И. История математики в школе 5-7 классы –М : Просвещение,1981. 9. http://festival.1september.ru/2004_2005/index.php?numb_artic=211204 10.http://www.uchportal.ru 11.http://www.alleng.ru/