Школьная олимпиада 8 класс

В этом году у нас в школе учащиеся решали такие задания на олимпиаде по математике

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017—2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

8 класс

Задание 1

В числе 3141592653589793 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число

Задание 2

Арбуз весил 10 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз

Задание 3

Назовём углы 40⁰, 50⁰, 60⁰, 80⁰ и 90⁰ прекрасными. Сколько существует треугольников периметра 1, все углы которых прекрасные?

Задание 4

Буратино собирается купить три книги: первая стоит треть всех его денег и ещё 3 золотых, вторая- четверть всех его денег и ещё 4 золотых, а третья – пятую часть его денег и ещё 5 золотых. После покупки у него останется один золотой. Сколько золотых стоит первая книга?

Задание 5

В комнате 10 ламп. Петя сказал: «В этой комнате есть 5 включённых ламп». Вася ему ответил: «Ты не прав». И добавил: «В этой комнате есть три выключенные лампы». Коля же сказал: «Включено чётное число ламп». Оказалось, что из четырёх сделанных утверждений только одно верное. Сколько ламп включено?

Ответы и решения.

1. В числе 3141592653589793 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число.

Решение:

Число тем больше, чем больше цифра старшего разряда. Чтобы число начиналось с 9, надо зачеркнуть первые пять цифр 3141592653589793. Осталось зачеркнуть еще 2 цифры. Зачеркивая 2, получаем на втором месте 6 (больше 6 нам получить не удастся). Чтобы вторая цифра числа была как можно больше, мы можем зачеркнуть только 2. Наибольшей цифрой из возможных на третьем и четвертом местах могут быть 5. Для этого нам надо зачеркнуть 3.

Ответ: 965589793.

Критерии проверки.

За правильный ответ без объяснений- 5 баллов

За правильный ответ с пояснением- 7 баллов

2. Арбуз весил 10 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?

Ответ: 5 кг.

Решение: Масса «сухого вещества» арбуза составляет 1 % первоначальной массы, или 10 • 0,01 = 0,1 (кг). После того, как арбуз усох, масса «сухого вещества» составляла 2 % от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,1:0,02 = 5 (кг). После того как арбуз усох, его масса уменьшилась вдвое.

3. Назовём углы 40⁰, 50⁰, 60⁰, 80⁰ и 90⁰ прекрасными. Сколько существует треугольников периметра 1, все углы которых прекрасные?

Ответ: Заметим, что углы определяют треугольник с точностью до подобия, а подобные треугольники с равными периметрами равны друг другу. Таким образом, условие задачи означает, что из всех подобных треугольников мы выбираем только один. Итак, среди всех «прекрасных» углов нам нужно найти тройки углов с суммой 180⁰( заметим, что углы в тройке могут повторяться). Простой перебор показывает, что таких троек всего четыре: (40,50,90), (40,60,80), (50,50,80), (60,60,60).

Критерии проверки.

Просто ответ 4 треугольника - 1 балл

Показан перебор и верный ответ, но без пояснений 5 баллов

Ответ с обоснованием и перебором – 7 баллов

1. Буратино собирается купить три книги: первая стоит треть всех его денег и ещё 3 золотых, вторая- четверть всех его денег и ещё 4 золотых, а третья – пятую часть его денег и ещё 5 золотых. После покупки у него останется один золотой. Сколько золотых стоит первая книга?

Ответ: Пусть у Буратино было Х золотых. Тогда условие задачи может быть составлено в виде уравнения 1/3Х+3+1/4Х+4+15Х+5+1=Х, которое стандартным преобразованием приводится к виду 13Х=780, следовательно, Х=60. Но если у Буратино было 60 золотых, то первая книга стоила 60:3+3=23золотых.

Критерии проверки.

Просто ответ 23 золотых- 1 балл

Составлено уравнение, решено дополнительное действие, но ответ записан ошибочный – 5 баллов

Всё решено правильно с пояснениями и записан правильный ответ -7 баллов

5. В комнате 10 ламп. Петя сказал: «В этой комнате есть 5 включённых ламп». Вася ему ответил: «Ты не прав». И добавил: «В этой комнате есть три выключенные лампы». Коля же сказал: «Включено чётное число ламп». Оказалось, что из четырёх сделанных утверждений только одно верное. Сколько ламп включено?

Ответ. 9.

Решение. Первое и третье утверждения одновременно не могут быть оба

неверными, иначе в комнате было бы меньше пяти включённых ламп и меньше

трёх выключенных, т. е. всего меньше восьми ламп, что противоречит условию.

Первое и второе утверждения также не могут быть одновременно неверными.

Значит, среди утверждений 1 и 3 есть верное, и среди утверждений 1 и 2 есть

верное. Поскольку верное утверждение всего одно, это утверждение 1,

а остальные утверждения неверны.

Значит, в комнате меньше трёх выключенных ламп (так как утверждение 3

неверно). Тогда включённых ламп хотя бы восемь, причём их количество

нечётно (так как утверждение 4 неверно). Значит, их девять.

Критерии проверки.

· Любое полное верное решение — 7 баллов.

· Верное и полное решение, но дан ответ не на тот вопрос («1 выключенная

лампа») — 6 баллов.

· Сказано, но не доказано, что верным может быть только утверждение 1,

зато потом из этого факта, верно выведено, что включённых ламп 9, — 3 балла.

· Объяснено, что верным может быть только утверждение 1, но далее сделана одна ошибка при построении отрицаний к одному из утверждений 2, 3,4, приводящая к неверному ответу (например, где-то «включено» перепутано

с «выключено» или «чётное» не превращено в «нечётное»), — 3 балла.

· Объяснено, что верным может быть только утверждение 1, но дальнейшие рассуждения неверны или в них сделано не менее двух ошибок при построении отрицаний — 2 балла.

· Приведён верный ответ, и без обоснования указано, что при этом верно только утверждение 1, но не объяснено, почему не может быть верно другое утверждение и почему не возможен какой-либо другой ответ, — 2 балла.

Дополнительно можно заменить какую-нибудь задачу этой

Задание 5

Малыш и Карлсон поочередно берут конфеты из одного пакета. Малыш берет одну конфету, Карлсон – 2, затем Малыш берет 3 конфеты, Карлсон – 4 и так далее. Когда количество оставшихся в пакете конфет станет меньше необходимого, тот, чья очередь наступила, берет все оставшиеся конфеты. Сколько конфет было в пакете первоначально, если у Малыша в итоге оказалась 101 конфета.

Решение:

Решение: Так как 1+3+5+…+17+19=100, то следует, что Малыш в предпоследний раз взял 19 конфет, а в последний раз – одну оставшуюся конфету. Поэтому первоначально в пакете находилось 1+2+3+4+…+19+20+1=211 (конфет)