Задачи по терии вероятности

Задача

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Запишем, как могло случиться, что "Джон промахнулся". "Ковбой схватил пристрелянный револьвер И не попал в муху, ИЛИ ковбой схватил непристрелянный револьвер И не попал в муху." Сначала разберемся с пистолетами: - Вероятность схватить пристрелянный пистолет равна 4/10 = 0,4. Мы вычислили её по определению вероятности: здесь один пистолет = одно элементарное событие, один пристрелянный пистолет = одно благоприятствующее событие. - Вероятность схватить непристрелянный пистолет равна (10−4)/10 = 0,6. Вычислили аналогично, определив число непристрелянных пистолетов. Затем разберемся с мухой: - Если ковбой стрелял из пристрелянного револьвера, то он НЕ попал в муху с вероятностью 1−0,9=0,1. - Если ковбой стрелял из непристрелянного револьвера, то он НЕ попал в муху с вероятностью 1−0,2=0,8. Здесь мы воспользовались формулой для вероятности противоположного события, потому что в условии даны вероятности попадания в муху из разных пистолетов, но не промахов. Теперь вернемся к нашей формулировке события "Ковбой схватил..." и вместо текста, описывающего составляющие события, подставим полученные числа - их вероятности, а вместо союзов "И" и "ИЛИ" знаки "·" и "+" соответственно. Получаем:

0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.

Задача 1

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Используем правило сложения, поскольку "вопрос по одной из этих двух тем" означает, что ИЛИ на тему «Вписанная окружность», ИЛИ на тему «Параллелограмм». Причем правило используем в простой форме, потому что события несовместимы. В условии об этом прямо сказано - вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. P(A + B) = P(A) + P(B) 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35

Задача 2

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение

"А. выиграет оба раза" означает, что А. выиграет И первый раз, И второй раз. А поскольку гроссмейстеры меняют цвет фигур, то это событие можно описать и так "А. выиграет И белыми, И черными." Используем правило умножения в простой форме, потому что события независимы. P(A·B) = P(A) · P(B) 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение

События A = "кофе закончится в первом автомате" и B = "кофе закончится во втором автомате" не являются несовместимыми, так как кофе может закончиться в обоих автоматах, и не являются независимыми, так как, если в одном из них кофе закончится, то во второй автомат покупатели будут обращаться чаще, и кофе в нем закончится скорее. По условию задачи P(A) = P(B) = 0,3; P(AB) = 0,12

Способ I.

Событие "кофе останется в обоих автоматах" противоположно событию "кофе закончится хотя бы в одном из автоматов ИЛИ в первом, ИЛИ во втором, ИЛИ в обоих". Найдем вероятность этого (противоположного) события по правилу сложения вероятностей для совместимых событий. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48 Тогда искомая вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке "Вход". Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение

Ошибочно думать, что в заданных условиях на вероятность выйти через конкретный выход или попасть в один из тупиков влияет количество выходов и тупиков или длина пути к ним. Раз паук развернуться и ползти назад не может, то самое главное для него - на каждой встретившейся развилке выбрать правильный путь: И на первой, И на второй, И на ... Т.е. это снова задача на правило умножения вероятностей.

Нарисуем путь паука к нужному выходу и возможные ответвления на этом пути.

Поставим на развилках "точки раздумья". Но по условию задачи паук не раздумывал, а выбирал путь чисто случайно, значит из каждой точки он мог пойти по любому пути с вероятностью p = 1/n, где n - количество путей на развилке за исключением того, по которому паук пришел. На нашем рисунке на нужном пути встречается 4 точки, и в каждой из них паук может выбрать два новых пути, следовательно p₁ = p₂ = p₃ = p₄ = 1/2 = 0,5. На каждой развилке паук выбирает новый путь независимо от решения принятого на прошлой развилке (по условию - чисто случайно), поэтому правило умножения вероятностей используем в простой форме P = p₁ · p₂ · p₃ · p₄ = 0,5·0,5·0,5·0,5 = 0,0625;

Ответ: 0,0625