7
1 занятие на элективном курсе по теме: «Метод площадей»
Занятие №1
Тема «Метод площадей (1 тип задач)»
Тип урока: комбинированный
Цели обучения:
Изучить теоретический материал о методе площадей;
Рассмотреть 1 тип задач, решаемый данным методом.
Цель развития: формирование навыков работы с текстом, развитие внимания, памяти речи.
Цель воспитания: воспитание познавательной активности, культуры общения, ответственности.
Метод обучения: объяснительно – иллюстративный метод.
Подготовительный этап
Цель: актуализация знаний о понятии площадь многоугольников, вспомнить изученные формулы нахождения площади.
Приёмы обучения: предъявление обучающимся вопросов и заданий.
Учитель (У): Здравствуйте, ребята! Проверьте наличие на партах карандаша, ручки, линейки, циркуля, ластика, тетради и учебника. Присаживайтесь.
Обучающиеся (О): проверяют, садятся.
(У): Ребята, давайте вспомним, что такое площадь многоугольников?
(О): Площадь многоугольников – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.
(У): Верно. Давайте с вами вспомним, а сколько же формул нахождения площади многоугольников мы знаем? (учащиеся в парах опрашивают друг друга, 2 человека с обратной стороны доски записывают).
(У): Молодцы!
2. Мотивационный этап.
Цель: побуждение интереса к изучению метода.
Приём мотивации: показ необходимости знаний метода для решения задач.
(У): Сейчас давайте применим наши знания при решении задач (выдается индивидуальная работа на каждого учащегося).
Таблица 2.
№ | Задача | Решение |
1 | , угол Н айти: | |
2 | Н айти: | |
3 | , угол Найти: | |
4 | Найти: | |
5 | Н айти: | |
6 | . Найти: | |
(У): Обсудим и проверим правильность решения данных задач (отвечают по 1).
(1 О): задача 1: .
(2 О): задача 2:
(3 О): задача 3: .
(4 О): задача 4: .
(5 О): задача 5: .
(У): Теперь давайте выполним задачу №6.
(О): Пытаются выполнить.
(У): Получилось решить?
(О): Нет.
(У): Как вы думаете, почему?
(О): Мы не знаем какого-то метода для решения 6 задачи.
3. Ориентировочный этап.
Цель: сформулировать метод.
Цель обучения: включение детей в доказательство выдвинутой гипотезы.
(У): Какова цель нашего урока?
(О): Мы должны найти какой-то метод, который поможет нам решить данную задачу.
(У): При решении задачи №6 у нас возникли трудности. Давайте попробуем вместе её разобрать. Для начала вспомним, а как мы можем найти площадь данного треугольника.
(О):
(У): Верно.
(О): Но, площадь данного треугольника мы ещё можем найти, как
(У): Конечно, площадь треугольника АВС поменяется при изменении формулы?
(О): Нет, площадь останется неизменной.
(У): Верно, мы можем уровнять данные формулы? и выразить АК?
(О): Да (выполняют).
(У): А теперь давайте попробуем неизвестный элемент заменить на х и выразить его.
(О): (выполняют).
(У): Что у вас получилось?
(О):
(У): Правильно, мы можем найти наш x?
(О): Да(выполняют).
(У): Что у вас получилось?
(О):
(У): Хорошо, правильно. При помощи чего мы смогли найти неизвестный элемент?
(О): Мы использовали 2 способа нахождения площади данной фигуры, затем выразили неизвестный элемент и нашли его значение.
(У): Про площадь что-то было дано в условии задачи?
(О): Нет.
(У): Так какой мы можем сделать вывод?
(О): Мы можем решить задачу, используя площадь, при этом в условии задачи про неё ничего не сказано.
(У): Верно, такой метод решения называется «Метод площадей».
(О): (записывают тему урока).
(У): Объяснение метода площадей:
Суть метода площадей состоит в том, что, произведя вычисление площади фигуры или ее составляющих, можно найти закономерность, описывающую характеристики исследуемого объекта, что в результате поможет получить ответ на вопрос, поставленный в геометрической задаче.
При этом метод площадей позволяет не только найти неизвестную изначально площадь фигуры, но и ответить на другие вопросы геометрической задачи, напрямую не связанные с этой геометрической характеристикой объекта исследования.
Данная задача демонстрирует задачи, при решении которых мы можем использовать метод площадей. Суть данного решения заключается в том, что мы:
Определяем формулы, на основании которых можно рассчитать площадь;
Записываем выбранные формулы с использованием искомого параметра;
Записываем уравнение приравнивая один расчет площади к другому;
На основе математических операций выделяем неизвестную величину из уравнения и производим ее расчет на основании заданных по условию задачи величин.
Далее рассмотрим перечень стандартных задач, в которых находит свое применение метод площадей.
4. Этап применения метода.
Цель: обучение применению метода площадей при решении задач.
(У): Ребята, давайте решим следующие задачи.
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти высоту, проведенную к гипотенузе данного треугольника.
Рис. 13
Решение:
По теореме Пифагора найдем гипотенузу данного прямоугольного (рис.13) треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника можно найти 2 различными способами: , из данного равенства выделим высоту:
Ответ: 2,4.
Задача 2. Дана трапеция ABCD, её основания ВС и AD равны 2 и 6 соответственно. Диагонали BD и АС пересекаются в точке О. Точка Р – середина OD. Найдите площадь четырехугольника АВСР.
Р
B
C
ешение:
п
O
усть
P
угол ВСА = углу САD как накрест лежащие и угол ВОС = углу AOD как вертикальные.
С
Рис. 14
D
A
ледовательно,
Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате, следовательно, Так как 3х = 9, то х = 3 и, следовательно,
Ответ:30.
(У): Молодец. Приведем пример еще одной задачи.
Задача 3. Сторона основания равнобедренного треугольника равна 16, а боковые стороны равны 10. Найти высоту, приведенную к боковой стороне.
Рис. 15
Решение:
Проведем высоту ВК к основанию АС (рис.15), так как треугольник равнобедренный, то высота ВК является биссектрисой и медианной ( по свойству равнобедренного треугольника), следовательно АК=ЛС=8.
По теореме Пифагора найдем ВК:
Ответ: 9,6.
Домашнее задание.
(У): Дома вам нужно повторить описание метода площадей, рассмотреть еще раз пройденные задачи.
Решить задачу: Сторона основания равнобедренного треугольника равна 6, а боковые стороны равны 5. Найти высоту, приведенную к боковой стороне.
Подведение итогов урока:
(У): Какой метод мы сегодня рассмотрели на уроке?
(О): Метод площадей .
(У): Сформулируйте особенности данного метода при решении задач.
(О): 1. Определяем формулы, на основании которых можно рассчитать площадь;
Записываем выбранные формулы с использованием искомого параметра;
Записываем уравнение приравнивая один расчет площади к другому;
На основе математических операций выделяем неизвестную величину из уравнения и производим ее расчет на основании заданных по условию задачи величин.
(У): Молодцы! Оцените свою работу на уроке (учащиеся маршрутном листе проставляют себе оценки за каждый этап урока).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Книга одного автора:
Болтянский, В. Г. Элементарная геометрия. Пособие для учителей / В. Г. Болтянский. - М. : Просвещение, 1985. – 320 с.
Готман Э. Г. Задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для учащихся / Э. Г. Готман. - М. : Просвещение,1996. – 243 с.
Книга двух авторов:
Готман Э. Г. Задача одна - решения разные: Геометрические задачи: Книга для учащихся. / Э. Г. Готман, З. А. Скопец. - М. : Просвещение, 2000. - 224 с.
Книга трех авторов:
Дубровин Б. А. Современная геометрия. Методы и приложения / А. Б. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. - 2-е изд., испр. - М. : Наука, 1986. – 760 с.
Книга четырех и более авторов
Геометрия. 10 - 11 классы. Учебник. Базовый и углубленный уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.] — 9-е изд. — М. : Просвещение, 2021. — 287 с. : ил.
Статья из периодического издания (журнала, газеты)
Ермаков, Д. С. Создание элективных учебных курсов для профильного обучения [Текст] / Д. С. Ермаков, Г. Д. Петрова // Школьные технологии. – 2003. - №6. – С. 22-29.
Электронные ресурсы
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=37240700
Коваленко, Е. С., Кузуб Н. М. Применение метода объёмов для решения стереометрических задач при подготовке к ЕГЭ по математике: [Электронный ресурс]. (Дата обращения: 06. 11. 2019)
https://math-ege.sdamgia.ru/prob_catalog
Решу ЕГЭ. Математика профильного уровня. Каталог заданий по типам: [Электронный ресурс]. (Дата обращения: 04. 12. 2019)