10 класс. Перпендикулярные прямые в пространстве.

Подготовила Л.И.Гоптарь.

Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. (2 урока).

Класс: 10

Цель урока:

образовательная: формировать понятие перпендикулярных прямых в пространстве, доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, дать определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости;

развивающая: развивать вычислительные навыки, логическое и пространственное мышление, речь учащихся;

воспитательная: воспитывать интерес к предмету, аккуратность при выполнении чертежей.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Требования к ЗУН: учащиеся должны знать понятие перпендикулярных прямых в пространстве, доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, определение перпендикулярности прямой и плоскости, формулировки теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; уметь применять изученные понятия и утверждения при решении задач по данной теме.

Литература:

1. Геометрия, 10–11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2019 г.

2. Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя /С. М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2018. – 222 с.: ил. – ISBN 5-09-011836-1.

3. Методика и технология обучения математике. М.: Дрофа, 2015. – 416 с.

План урока:

I. Организационный момент.

II. Изучение нового материала.

1. Актуализация знаний.

2. Формирование понятия перпендикулярности двух прямых в пространстве.

3. Доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

4. Формирование понятия перпендикулярности прямой и плоскости.

5. Доказательство теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

III. Первичное закрепление материала. №№ 117, 120.

IV. Подведение итогов.

V. Дополнительное задание. п.15 – 16, вопросы 1, 2 стр.54, №№ 116, 118 .

ХОД УРОКА:

1. Орг. момент

Учитель:

Мы приступаем к изучению новой большой главы: «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Тема нашего сегодняшнего урока: «Перпендикулярность прямой и плоскости». Мы познакомимся с понятием перпендикулярных прямых в пространстве, с теоремами, касающимися перпендикулярности прямых и затем рассмотрим задачи.

Запись в тетрадях:

Число.

Классная работа.

«Перпендикулярность прямой и плоскости».

II. Изучение нового материала

1. Актуализация знаний.

Учитель: Какое взаимное расположение прямых на плоскости?

Ученик: Прямые могут не иметь общих точек – быть параллельными, иметь одну общую точку – пересекаться, либо быть перпендикулярными, иметь множество общих точек – совпадать.

Учитель: Какие прямые называются перпендикулярными на плоскости?

Ученик: Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.

Учитель: Какое взаимное расположение прямых в пространстве?

Ученик: Две прямые могут пересекаться, быть параллельными, либо скрещивающимися.

2. Формирование понятия перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Учитель: Перед вами куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Учитель: Какое взаимное расположение прямых АВ и ВС?

Ученик: Прямые перпендикулярны.

Учитель: Найдите угол между прямыми АА₁ и DC.

Ученик: Прямые АА₁ и DC тоже перпендикулярны, угол между ними равен 90 градусов.

Учитель:

Запишем определение перпендикулярности двух прямых в пространстве

Запись в тетрадях:

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Учитель: В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Обратите также внимание на рисунок 43 на стр.34 ваших учебников. Перпендикулярные a и b пересекаются, а прямые a и c скрещиваются.

3. Доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Учитель: Рассмотрим прямые АА₁ , СС₁ и DC.

Учитель: Прямая АА₁ параллельна прямой СС₁, а прямая СС₁ перпендикулярна прямой CD. Нами установлено, что АА₁ перпендикулярна CD. Какой мы можем сделать из этого вывод? Сформулируйте это утверждение.

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: Это утверждение носит название Леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Запись в тетрадях:

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: Докажем лемму.

Запись в тетрадях:

Учитель: Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как прямая a перпендикулярна c, то угол AMC равен 90 градусов.

Запись в тетрадях:

МА||а и МС||с. Т.к. a ^ c, то угол AMC = 90°

Учитель: По условию b||а, а по построению а || МА, поэтому b||МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b ^ c.

Запись на доске и в тетрадях:

b||а (по условию), а || МА (по построению), = b||МА.

b|| МА и с|| МС, угол AMC = 90° = (b,^c) = 90°, т. е. b ^ c

4. Формирование понятия перпендикулярности прямой и плоскости.

Учитель: Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдем углы между прямой АА₁ и прямыми плоскости АBCD.

Ученик: Между прямой АА₁ и прямыми плоскости АBCD углы равны 90°, т.е прямая АА₁ перпендикулярна прямым плоскости АBCD.

Учитель: Отсюда мы можем сделать вывод: прямая АА₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АBCD. Такие прямые называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямой α и плоскости α обозначается так: α ^ α,

Учитель: Запишем определение прямой, перпендикулярной к плоскости:

Запись в тетрадях:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение: α ^ α

Учитель: Говорят также, что плоскость α перпендикулярна к прямой α.

Учитель: Если прямая α перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость. Действительно, если бы прямая α не пересекала плоскость α, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей, а это противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости, значит прямая α пересекает плоскость α.

Учитель: На рисунке 45 стр.35 ваших учебников изображена прямая α перпендикулярная к плоскости α. Скажите, прямая будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α?

Ученик: Да, будет. Это следует из определения прямой, перпендикулярной к плоскости.

Учитель: Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Прокомментируйте их.

Ученик: Телеграфный столб перпендикулярен к плоскости земли.. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола.

Учитель: А чему будет перпендикулярна открытая половинка окна?

Ученик: Плоскости подоконника, плоскости пола, плоскости потолка.

Учитель: Какие ещё примеры вы можете привезти из жизни?

Ученик: Люстра висит перпендикулярно к плоскости пола и плоскости потолка, горизонтальная линия доски перпендикулярна плоскости стены и т.д.

5. Доказательство теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Учитель: Рассмотрим ещё две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Запись в тетрадях:

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель: Докажем её.

Запись в тетрадях:

Учитель: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а^α, то а^х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей b^х.

Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. b^α.

Запись в тетрадях:

Т.к а^α, то а^х = b^х (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей), а значит b^α (по определению).

Учитель: Докажем обратную теорему.

Запись в тетрадях:

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Учитель: Доказательство:

Учащиеся самостоятельно записывают доказательство в тетрадь.

III. Закрепление изученного материала

Учитель: Переходим к решению задач. №№ 117, 120

Разбираем задачи и записываем в тетрадях.

Учитель: Что дано в задаче?

Учитель: Что нужно доказать?

Учитель: Как мы это докажем?

Учитель: Какие теоремы можно применить?

1. Подведение итогов

Обобщение материала, изученного на уроке, повторение основных понятий и формулировок (фронтальный опрос). Выделение положительных и отрицательных моментов урока, оценка работы ребят, выставление отметок.

1. Дополнительное задание по желанию.

Запись в рабочих тетрадях.

п.15 – 16, вопросы 1, 2 стр.54, №№ 116, 118