10 класс. Вероятность и статистика. Урок №1. Представление данных с помощью таблиц и диаграмм

ПРИМЕРНЫЙ СЦЕНАРИЙ УРОКА

РАЗДЕЛ «ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ И ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА»

10КЛАСС

Тема «Представление данных с помощью таблиц и диаграмм»

Урок составлен на основе:

1. Экспериментального учебного пособия для 10 и 11 классов Теория вероятностей и статистика. / Ю.Н. Тюрин, А.А.Макаров, И. Р.Высоцкий, И. В. Ященко. ––М.: МЦНМО, 2014.

2. Сайта Математическая вертикаль | Вероятность в школе

3. Учебного пособия Бунимович Евгений Абрамович. Математика. Вероятность и статистика : 10-й класс : базовый и углублённый уровни : учебное пособие / Е. А. Бунимович, В. А. Булычев. — Москва : Просвещение, 2023

ГЛАВА 1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ И ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА (4 Ч.)

Урок 1. Представление данных с помощью таблиц и диаграмм

Основные задачи уроков: Познакомить учащихся о простейших методах обработки и анализа статистических данных с помощью таблиц и диаграмм.

Примерный план проведения урока:

Статистика — это наука, которая изучает способы сбора, обработки и анализа количественных данных о самых разнообразных массовых явлениях окружающей нас жизни. Термин «статистика» происходит от латинского слова status — состояние. Правильно собранные и обработанные статистические данные дают достоверное представление о состоянии экономики, образования, медицины и многих других сфер нашей жизни.

Поскольку статистика всегда имеет дело с большими объёмами данных, одна из главных её задач — удобное представление и описание этих данных, замена большого массива наглядной таблицей, диаграммой, одним или несколькими числовыми показателями.

Одним из самых частых и привычных способов представления информации являются таблицы: расписание уроков, таблица умножения, страницы школьного дневника и классного журнала, календари, программы телепередач, расписания движения поездов и таблицы — этот ряд вы легко продолжите сами.

Простейшая таблица представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых образуются прямоугольные клетки или ячейки, куда и заносятся данные. Начальная строка часто используется для того, чтобы подписать каждый столбец. Иногда несколько соседних ячеек таблицы объединяют в одну. Перед вами итоговая таблица Российской Премьер лиги по футболу 2023/24 г

.

Чтобы разобраться в этой таблице людям, далёким от спорта, придётся поломать голову. Для них нужно, прежде всего, расшифровать названия столбцов: И — игры, В — выигрыши, Н — ничьи, П — проигрыши, М —забитые и пропущенные мячи, О — набранные очки.

После такой расшифровки многое прояснится. Станет понятно, например, почему в столбце «И» у всех команд стоит число 30: поскольку в турнире участвовало 16 команд, и он проводился в два круга, то каждая команда сыграла по 30 игр.

Несложно сообразить также, что за каждую победу в каждой игре давалось 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Именно поэтому сумма очков, набранная «Зенитом», равна 57:

17• 3 + 6 • 1 + 7• 0 = 57

Можно обсудить еще несколько команд, как они сыграли, расшифровать ничьи, проигрыши, выигрыши.

Вообще, в спорте таблицы очень популярны. Именно с их помощью удобнее всего представить итоги турнира, рейтинги спортсменов, расписание матчей предстоящего чемпионата и т. д.

Перейдём теперь от таблиц к диаграммам, с которыми вы наверняка сталкивались при изучении других предметов, в учебниках или в Интернете. Само это слово происходит от древнегреческого diagramma — рисунок, чертёж. При использовании диаграмм, как правило, теряется точность представления информации, зато значительно повышается её наглядность.

Диаграммы удобно использовать для сравнения величин или чтобы показать изменение какой-то величины во времени.

Диаграммы бывают разных видов: диаграммы-линии, столбиковые диаграммы, круговые, лепестковые и многие другие.

Диаграммы-линии часто называют просто графиками. Их удобно использовать для того, чтобы показать изменение какой-то величины во времени. При этом по горизонтальной оси откладываются моменты времени (часы, дни, годы), а по вертикальной — значения интересующей нас величины. Полученные точки соединяются ломаной линией.

На рисунке показано изменение цены на нефть марки Brent в течение июня 2023 г. Каждому рабочему дню июня (в нерабочие дни цена не рассчитывалась) соответствует точка на диаграмме.

Отметим, что в отличие от обычных графиков, которые строили на уроках алгебры, отсчёт по горизонтальной и вертикальной осям ведётся чаще всего не от нуля— это касается и диаграммы на рисунке

Следующий популярный тип диаграмм— столбиковые или столбчатые. Их используют для наглядного сравнения величин между собой.

Для этого каждую величину изображают в виде столбика, высота которого равна её значению. Все столбики выстраивают в один ряд и подписывают.

На рисунке вы видите столбиковую диаграмму, построенную по данным таблицы, в которой приводились итоги чемпионата России по футболу.

Высота столбиков показывает число мячей, забитых каждой из команд. При построении столбиковых диаграмм можно выбрать любую ширину столбиков и любое расстояние между ними. На диаграмме на рисунке, столбики превратились в отрезки. Такие диаграммы иногда называют линейчатыми.

Иногда на одной диаграмме приходится изображать сразу два числовых набора. В нашем примере интересно сравнить между собой число забитых и число пропущенных разными командами мячей.

На рисунке, приведена столбиковая диаграмма, на которой голубым цветом показаны столбики, соответствующие числу забитых мячей, а зеленым цветом— числу пропущенных.

На рисунке те же данные представлены в виде диаграммы-линии. Какой из двух вариантов выбрать, часто определяется по личным предпочтениям. Но если числовых наборов несколько и количество значений в каждом из них велико, то диаграмма-линия будет более наглядной.

Когда на диаграмме нужно показать соотношение целого и его частей, то удобнее всего использовать диаграмму, которая называется круговой.

Для построения такой диаграммы рисуют круг и делят его на секторы, угловая величина которых пропорциональна каждому из представленных значений. Визуально такая диаграмма напоминает разрезанный на кусочки пирог. Неслучайно в английском языке её называют pie chart (pie  —пирог, chart — диаграмма). Иногда эти кусочки раздвигают, чтобы сделать диаграмму нагляднее.

На рисунке показана одна из таких неудачных диаграмм, на которой отражены результаты тестирования по русскому языку, проведённого среди 296 учащихся.

По ней трудно определить, насколько сложным оказался тест для учащихся, поскольку секторов много и они близки по размеру.

Вот те же результаты, представленные на столбиковой диаграмме

Теперь результаты выглядят гораздо нагляднее. Сразу видно, что наиболее часто встречались учащиеся, правильно ответившие на 15—17 вопросов, очень немного тех, кто ответил меньше, чем на 5 вопросов, и т. д.

Задание 1.

Используя данные диаграммы, укажи ответ на вопросы:

1. Сколько процентов поступивших денег занимают расчёты по краткосрочным кредитам и займам?

2. Какой процент денежных средств занимают прочие расходы?

3. Какой процент денежных средств занимают расчёты с поставщиками и подрядчиками?

4. Какой процент денежных средств занимают расчёты по налогам и сборам?

Желательный результат обсуждения:

1. Поступление денег по расчётам по краткосрочных кредитам и займам относится к категории «поступления». На диаграмме эта часть выделена розовым цветом. Из данных на диаграмме следует, что процент, который занимает поступление денег по расчётам по краткосрочных кредитам и займам, равен 4,75.

2. Прочие расходы относятся к категории «списания». На диаграмме эта часть выделена тёмно-жёлтым цветом. Из данных на диаграмме следует, что процент, который занимают прочие расходы, равен 17,24.

3. Расчёты с поставщиками и подрядчиками относятся к категории «списания». На диаграмме эта часть выделена тёмно-серым цветом. Из данных на диаграмме следует, что процент, который занимают расчёты с поставщиками и подрядчиками, равен 65,87.

4. Расчёты по налогам и сборам относятся к категории «списания». На диаграмме эта часть выделена красным цветом. Из данных на диаграмме следует, что процент, который занимают расчёты по налогам и сборам, равен 6,61.

Задание 3.

По данным таблицы определите верные данные (без единиц измерения).

Общий анализ крови девочки

Желательный результат обсуждения: Результат анализа на лимфоциты—49,25

Результат анализа на лейкоциты-6,4

Результат анализа на нейтрофилы-35,4

Задание 4.

В таблице указано расписание пригородных электропоездов по направлению Урюпинск — Волгоград.

Билет на какую электричку необходимо купить, если деловая встреча с руководителями железнодорожного вокзала в Волгограде запланирована в 17:55, время следования — 2 ч 30 мин?

Желательный результат обсуждения: Время встречи запланировано в 17:55, значит, в это время уже нужно быть в Волгограде. Поэтому ко времени убытия электрички прибавим время следования в пути, таким образом определим время убытия из города Урюпинска. С учётом времени следования электрички необходимо покупать билет на электропоезд номер 3.

Таблица частот и полигон. Можно сказать, что первичным результатом любого статистического исследования является достаточно большой массив (набор) чисел. Чтобы увидеть в нём какие-то интересные закономерности и сделать практические выводы, эти данные подвергают специальной обработке, для которой теперь всё чаще используется компьютер. Но прежде чем говорить о компьютерных технологиях, разберёмся, как это делается «вручную», с помощью рассмотренных выше таблиц и диаграмм.

Пример 1. Десятиклассник получил в течение четверти следующие отметки по математике:

5, 2, 4, 5, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 5, 5, 5, 4, 5.

В этом числовом наборе не так много чисел — всего 20, — но даже для такого небольшого количества учителю не так просто определить итоговую отметку. Что для этого можно предпринять? Один из вариантов — составить следующую таблицу:

Мы посчитали, сколько раз встречалась в этом наборе каждая из отметок 2, 3, 4, 5, и записали полученное количество повторений во вторую строку таблицы. Теперь хорошо видно, что самой редкой отметкой была двойка, а самой частой — пятёрка. Чтобы проверить, не ошиблись ли мы при подсчёте, можно сложить все числа во второй строке, должно получиться общее количество выставленных отметок, т. е. 20.

Добавим к этой таблице ещё одну строку — частоту, с которой встречалась каждая отметка. Частоту выражают в виде доли (числа от 0 до 1) или процентного содержания (от 0% до 100%) каждого значения в числовом наборе:

Частота двоек равна 0,15 и получена как отношение количества двоек к общему числу оценок: =0,15

Аналогично получены и все остальные частоты. Их сумма, как легко догадаться, всегда равна 1 — это свойство также можно использовать для самопроверки:

0,15 + 0,20 + 0,30 + 0,35 = 1.

Полученная таблица показывает, как частоты распределены между всеми возможными значениями, которые встречались в числовом наборе, поэтому её называют распределением частот. Заметим, что по такой таблице можно восстановить и исходный числовой набор: нужно выписать друг за другом три двойки, четыре тройки, шесть четвёрок и семь пятёрок.

Правда, установить, в какой именно последовательности получались отметки, мы уже не сможем. И ещё: если в таблице даны только частоты, а строка с числом повторений каждого значения отсутствует, то для восстановления ряда нужно знать ещё и общее количество значений всего ряда.

Распределение частот станет ещё нагляднее, если представить его графически. Это можно сделать с помощью уже знакомых нам столбиковой или круговой диаграмм.

Однако для распределения частот принято использовать диаграмму-линию, которая в этом случае называется полигоном частот (от латинского poligon - многоугольник). Чтобы построить такой полигон, вернёмся к таблице частот.

При сравнении двух и более распределений частот рисуют несколько полигонов в одной системе координат. При этом может оказаться, что удобно отмечать и некоторые значения, которые в одном из рядов отсутствовали (т. е. их частота равнялась 0)

Пример 2. Продолжим анализировать успеваемость десятиклассников и к ученику из примера 1 добавим двух его одноклассников.

Вот отметки второго ученика:

3, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 5, 3, 3, 4, 4, 2, 4, 3, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 2.

Отметки третьего ученика:

2, 3, 2, 4, 5, 2, 3, 2, 3, 4.

Построим для каждого из учеников таблицу частот:

Заметим, что каждый из этих учеников получил уже другое количество отметок: у второго их 23, а у третьего только 10. Поэтому при вычислении частот в таблице 7 мы делили каждое число повторений на 23, а в таблице 8 — на 10.

По построенным графикам хорошо видно различие: отметки первого ученика значительно лучше, чем третьего. Это выражается в том, что частота хороших и отличных отметок у него выше, а плохих (троек и двоек) — ниже. Второй ученик занимает промежуточное положение.

Чаще всего у него встречаются тройки и четвёрки, а реже — двойки и пятёрки.

Задание 5.

На столбиковой диаграмме показана рождаемость в городе в течение года.

а) Сколько детей родилось в городе в январе? в мае? (400;700)

б) В каком месяце родилось 600 детей? (сентябрь)

в) В какие месяцы родилось по 400 детей? (январь, август)

г) Сколько детей родилось зимой? (400+250+350=1000)

д) В какие месяцы родилось меньше 400 детей? больше 500 детей? (февраль, ноябрь, декабрь; май, сентябрь, октябрь)

Задание 6.

В таблице указаны расходы семьи на различные коммунальные услуги (в р.) за первые 6 месяцев года.

а) Постройте диаграмму-линию расходов за воду.

б) Постройте столбиковую диаграмму расходов семьи за март.

в) Постройте круговую диаграмму общих расходов семьи за полгода.

Задание 7.

В отделе мужской обуви универмага в течение дня производился учёт размеров купленной обуви. Были получены следующие результаты:

44, 40, 43, 39, 42, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 44, 44, 41, 42.

а) Представьте эти результаты в виде таблицы частот. Постройте по таблице полигон частот

б) Проведите блиц-опрос и заполните аналогичную таблицу с размерами обуви для своего класса. Постройте полигон частот. Сравните его с полигоном из предыдущего пункта. Есть ли между ними какая-то существенная разница? Как её можно объяснить?

а)

Домашнее задание: В качестве домашнего задания можно предложить задания из учебника Бунимович, Евгений Абрамович. Математика. Вероятность и статистика : 10-й класс : базовый и углуб лённый уровни : учебное пособие / Е. А. Бунимович, В. А. Булычев. — Москва : Просвещение, 2023

Стр.14-21 №№5,6,15,19,22,24

Здесь для удобства представлены скрины номеров:

Презентация к уроку находится по ссылке

https://vk.com/market-221345243?section=album_4&w=product-221345243_10578177%2Fquery