11 класс. Неопределенный интеграл.

КОУ ВО «ЦЛПДО»

Разработка уроков-консультаций в 11 классе

« Первообразная и интеграл».

Подготовила Л.И. Гоптарь.

-Воронеж-

2020 г.

Цель урока:

обобщение и систематизация знаний.

Задачи урока:

образовательные:

• углубление понимания сущности определенного интеграла путем применения его для получения новых знаний;

• развитие умений и навыков применять определенный интеграл при решении задач;

воспитательные:

• воспитание познавательного интереса к учебному предмету;

• воспитание у учащихся культуры мышления;

• формирование умений осуществлять самоконтроль;

развивающие:

• формирование умений строить доказательства, логическую цепочку рассуждений;

• формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию.

Структура урока:

1 этап - мотивационно - ориентировочный:

разъяснение целей учебной деятельности учащихся, мотивация учащихся: выйти на результат.

2 этап - подготовительный:

актуализация опорных знаний, необходимых для решения задач.

3 этап - основной:

осмысление последовательности выполнения действий согласно правилу (работа с проговариванием правил); совершенствование или коррекция умений учащихся в зависимости от успешности выполнения предыдущего этапа (кто быстро справился – работает с более сложными заданиями; кто испытывал затруднения – продолжает работать с заданиями стандартного уровня); отчёт учащихся о выполнении заданий.

4 этап – тестирование.

5 этап - заключительный:

подведение общих итогов, инструкция по выполнению дополнительного задания, рефлексия.

Ход урока:

1. Организационный момент.

1. На индивидуальных карточках записаны неопределенные

интегралы и их необходимо вычислить.

№1. Вычислить интеграл  

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y= x² - 2x+2 и y= - x²+6

Решение.

1. Построить фигуру, ограниченную y= x² - 2x+2 и y= - x²+6

2. Найти абсциссы точек пересечения графиков данных функций

x ² - 2x+2 = - x²+6

2x² - 2x - 4 =0

x² – x - 2=0

х₁= - 1, х₂ = 2

1. Вычислить площадь

III. Работа с классом. Применение приобретенных знаний, умения и навыков.

Всем известно, что ключ к практике – это теория, нам необходимо вспомнить теоретические основы по теме (фронтальный опрос).

 Для этого давайте ответим на следующие вопросы.

1. Какую функцию можно назвать первообразной для функции f (х) на [а; b] ?

2. Сформировать основные свойства первообразной.

3. Как называется операция нахождения первообразной функции?

4. Как называется действие, обратное интегрированию?

5. Какие геометрические задания приводят к понятию первообразной?

6. Какая фигура называется криволинейной трапецией?

7. Как найти площадь криволинейной трапеции?

8. Какие из данных фигур являются криволинейными трапециями?

1. Запишите площадь заштрихованной фигуры.

1. Выберите первообразную для функции .

1) 2) 3)

1. _{Найдите общий вид первообразных для функции} .

₁₎ 2) 3)

1. _{Вычислить интегралы:}

1. Запишите в виде определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями

y=x²+1, x=1, x=2, y=0

1. Вычислите площадь заштрихованной фигуры

15.

1. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

у=х²-4х+5, у=х+5, y=0, х=-3, х=3.

IV. Провожу тестирование.

V. Из истории.

Символ ydx был введен немецким математиком Готфридом Лейбницем в 1686 году.

Существует версия о том, что он букву S, используемую для обозначения суммы писал слегка удлиненной.

Так постепенно и родился новый символ.

Термин интеграл (от латинского integer-целый) был предложен в 1696 году учеником Лейбница - Иоганном Бернулли. Лейбниц, хотя и неохотно согласился с этим. Вероятно, оно происходит от латинскогоintegero, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.)

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов.

Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции.

Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм.

Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница.

Как вы думаете, где находит применение интеграл?

А зачем обычному среднестатистическому человеку нужен интеграл?

Все ли мы используем знания, полученные на уроке, где-то в повседневной жизни или в ближайшем будущем?

Поднимите руки, у кого дома есть телевизор; у кого есть сотовый телефон; у кого дома есть компьютер.

Так вот даже обычный сельский житель, который не имеет общего с наукой, в повседневной жизни пользуется знаниями об интеграле.

Естественно, некоторые люди, которые пользуются этими приборами, могут и не знать, как вычисляется интеграл и что это вообще такое.

Но каждый из нас пользуется предметами быта, даже не подозревая, что, чтобы эти приборы работали, какие-то ученые составляли интегральные схемы, проводили исследования.

И в каждом вашем сотовом телефоне находится интегральная схема.

А знаете ли вы?

Что интегралы используются при:

• решении задач из области физики;

• решении экономических задач (на оптимизацию работы фирмы в условиях конкуренции, расчет о доходности потребительского кредита);

• решении социально - демографических задач (математическая модель народонаселения Земли и др.).

«Задача о каше»:

Оля насыпала в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросила маму: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?»

«Это очень просто, - ответила мама, – наклони кастрюлю, постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна.

Теперь заметь точку на стенке кастрюли у края, до которого поднялась крупа, и зажми ее пальцем.

До этого уровня надо налить воду!» – «Так ведь пшена можно насыпать побольше или поменьше, да и кастрюли бывают разные – широкие узкие», – усомнилась Оля.

«Все равно, мой способ годится в любом случае», - гордо ответила мама».

Доказать:  .

С помощью определенного интеграла мы будем в дальнейшем выводить формулы объемов тел вращения.

VI. Подведение итога урока.

Итог урока.

Вывод:

- обобщили знания и отработали навыки решения задач на нахождение первообразных и вычисления интеграла, провели подготовку к ЕГЭ;

- развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний;

- развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.

Оценивание:

- За работу по карточкам.

- За активное участие на уроке.

Рефлексия.

Лист рефлексии Фамилия, имя__________________

VII. Дополнительное задание и инструктаж о ее выполнении.

Задача № 1   Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х²+1;  у = - х²+4х +1.

Построим графики указанных функций в одной системе координат

Найдем  пределы интегрирования - абсциссы точек пересечения графиков А  и В. Для этого решим уравнение:  х²+1= - х²+4х +1   2х²-4х =0     х(х-2)=0   или х=2. Площадь искомой фигуры равна разности двух определённых интегралов на промежутке [0;2].     S=   =    =

= ( +8) = 2  (кв.ед.)              Ответ: 2   кв.единиц.

Задача № 2  

Вычислить интеграл:

Лист рефлексии Фамилия, имя__________________

_______________________________________________________________________________

Всем спасибо за урок и за хорошую работу на уроке…