20.10.Еще пример задания

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение (1 способ):

1. Если число в системе с основанием оканчивается на 13, то

   1. , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3

   2. это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

2. определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

3. очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

1. остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

или равносильное

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

1. получаем

   1. при :

   2. при : решения – не целые числа

   3. при : и , второе решение не подходит

2. таким образом, верный ответ: 4, 68.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1. запись числа71 в системе с основанием оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на равен 3, то есть для некоторого целого имеем

1. таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

2. среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:

так что первый ответ: 68.

1. остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше

2. поэтому , следовательно,

3. по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому (в системах с основанием  3 цифры 3 нет)

4. итак: , и при этом – делитель 68; единственное возможное значение (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)

5. таким образом, верный ответ: 4, 68.