20.12.Еще пример задания

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение:

1. Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).

2. Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23_x), то справедливо равенство ; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , таких решений нет.

3. Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300_x, где . При минимальном основании ( ) оно равно , поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков.

4. На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть , где – целое неотрицательное число, такое что .

5. Максимальное можно определить как решение уравнения (при ); получаем одно из решений – 6,15; поэтому

6. Если мы знаем , то определится как ; пробуем подставлять в эту формулу , пытаясь получить

7. Минимальное будет при : , а при получается

8. Таким образом, верный ответ: 6.