20.14.Еще пример задания

Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления , при котором 225_x = 405_y? Ответ записать в виде целого числа.

Решение:

1. Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с .

2. Очевидно, что , однако это не очень нам поможет.

3. Для каждого «подозреваемого» вычисляем значение и решаем уравнение , причем нас интересуют только натуральные .

4. Для и нужных решений нет, а для получаем

так что .

1. Таким образом, верный ответ (минимальное значение ): 8.

Запись числа 30₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

Решение (1 способ, подбор):

1. запись числа 30 в системе с основанием N длиннее, чем в десятичной (4 цифры против двух), поэтому основание N меньше 10

2. это дает шанс решить задачу методом подбора, переводя в разные системы, начиная с N = 2 до N = 9

3. переводим:

30 = 11110₂ = 1010₃ = …

1. дальше можно не переводить, поскольку запись 1010₃ удовлетворяет условию: заканчивается на 0 и содержит 4 цифры

2. можно проверить, что при N ≥ 4 запись числа 30 содержит меньше 4 цифр, то есть не удовлетворяет условию

3. Ответ: 3.

Решение (2 способ, неравенства):

1. запись числа 30 в системе с основанием N содержит ровно 4 цифры тогда и только тогда, когда старший разряд – третий, то есть

1. первая часть двойного неравенства дает (в целых числах)

2. вторая часть неравенства дает (в целых числах)

3. объединяя результаты пп. 2 и 3 получаем, что N = 3

4. заметим, что условие «оканчивается на 0» – лишнее, ответ однозначно определяется по количеству цифр

5. Ответ: 3.