№ 49-50. Целые уравнения.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ

9 класс

Урок № 49-50

Автор: Золотько Л.И., учитель математики МАОУ «СОШ № 10»,

г. Миасс, Челябинская область

УСТНАЯ РАБОТА:

решите уравнение:

Правила

Уравнения называются ЦЕЛЫМИ , если у них левая и правая части являются целыми выражениями (т.е. не содержат деления на выражения с переменными).

___________________________________

Всякое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением , левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая – нуль.

___________________________________

Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения .

Примеры

(3х + 7) – 5 = 3х(3х + 1)

_____________________

(2х ²+ 1) ² - x³ = 1 - 3(x² - 2)

4х 4 - x³ + 7x² + 6 = 0

_____________________

4х 4 -x³+7x²+6=0

уравнение 4-й степени

Какова степень уравнений?

а) x 2 = 0 ж) x 3 – 25x = 0

б) 3x – 5 = 0 з) x(x – 1)(x + 2) = 0

в) x 2 – 5 = 0 и) x 4 – x 10 = 0

г) x 6 = 1/36 к) x 2 – 0,01 = 0,03

д) x 2 +х 4 = – 25 л) 19 – c 2 = 10

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (уравнения первой степени)

В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде и т.д. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ

Новый великий прорыв в алгебре связан с именем французского ученого XVI в. Франсуа Виета . Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (x , y или z ) мы обязаны его соотечественнику – Рене Декарту .

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (уравнения второй степени)

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта.

Формулу корней квадратного уравнения называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (уравнения третьей степени)

И всё же усилиями итальянских алгебраистов метод их решения был найден, а формула для их решения носит имя Кардано .

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древнего Египта, то кубические уравнения оказались «крепким орешком».

0 , то кубическое уравнение имеет 3 различных корня(один действительный, а два других – сопряжённые комплексные) Если " width="640"

Формула Кардано :

Если

0 , то кубическое уравнение имеет 3 различных корня(один действительный, а два других – сопряжённые комплексные)

Если

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (уравнения четвертой степени)

Метод решения уравнений четвертой степени нашёл в XV в. Лудовико Феррари , ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ (уравнения высших степеней)

А есть ли общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на этот вопрос сумел найти норвежский математик Абель в начале XIX в., а чуть раньше его – итальянец Паоло Руффини : таких формул не существует.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ: сколько корней может иметь уравнение?

Решите уравнения:

• 2х + 5 =15
• 0х = 7

Сколько корней может иметь уравнение I степени?

Не более одного!

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ: сколько корней может иметь уравнение?

Решите уравнения:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

Сколько корней может иметь уравнение II степени (квадратное) ?

Не более двух!

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ: сколько корней может иметь уравнение?

Решите уравнения:

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

Сколько корней может иметь уравнение III степени?

Не более трех!

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ: сколько корней может иметь уравнение?

Как вы думаете сколько корней может иметь уравнение

I V , V , V I, VII , n -й степени?

Не более четырёх, пяти, шести, семи корней!

Вообще не более n корней!

ПРОБЛЕМА № 2: КАК РЕШАТЬ?

?

Одним из приемов решения уравнений высших степеней является разложение на множители .

ПРИМЕР 1 :

• Как называется способ, с помощью которого можно разложить левую часть уравнения на множители?

ПРИМЕР 1 :

• Когда произведение множителей равно 0?

ПРИМЕР 1 :

• Сколько корней имеет данное уравнение?

• Как вы думаете, может ли уравнение третьей степени иметь 1, 2, 4, 5 корней или ни одного корня?

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 274(а)*

275*

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 272(а,в,д,ж)

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 274(а)*

275*

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 272(в,д,ж)

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 274(а)*

275*

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 272(д,ж)

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 274(а)*

275*

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 272(ж)

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 274(а)*

275*

ПРОВЕРКА: № 274(а)*

Другим приемом решения уравнений высших степеней является введение новой переменной .

ПРИМЕР 2 :

• Введем новую переменную:
• Получим уравнение:

• Решим данное уравнение:
• Найдем переменную x :

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 275*

№ 282(а)

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 276 (а,б,г)

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 275*

№ 282(а)

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 276 (б,г)

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 275*

№ 282(а)

РАБОТА ПО УЧЕБНИКУ: № 276 (г)

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 275*

№ 282(а)

ПРОВЕРКА: № 275*

ОТВЕТ: (0; -6)

(1; 0)

(2; 0)

(3; 0)

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 274(б)*

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА: № 273(д), 277(а)

ПРОВЕРКА:

ОТВЕТ: -3; 0; 2,5; 3

ДОПОЛНИТЕЛЬНО:

№ 274(б)*

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА: № 273(д), 277(а)

ПРОВЕРКА:

ОТВЕТ: -2; -1; 1; 2

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:

• Математика: алгебра. Функции. Анализ данных: учеб. для 9 кл. ОУ/ Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др.; под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Просвещение, 2007.
• Математика: 9 кл.: кн. для учителя/ С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В.Кузнецова, С.С.Минаева. – М.: Просвещение, 2006.
• Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Ред. коллегия: М.Акинова, В.Володин и др. – М., Аванта+, 2005г.