Вариант № 5
1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.
Объекты | Пруд | Пристройка к дому | Курятник | Теплица |
Цифры | | | | |
На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Коткино, улица Садовая, д. 7 (сторона каждой клетки на плане равна 1 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок слева от ворот находится овчарня, отмеченная на плане цифрой 6. Площадь, занятая овчарней, равна 12 кв. м.
Жилой дом находится в глубине территории. Помимо овчарни и жилого дома, на участке имеются пристройка к дому и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2). Между пристройкой и овчарней расположен пруд. Также на участке есть курятник, расположенный рядом с домом.
Все дорожки внутри участка вымощены тротуарной плиткой размером 0,5 м × 0,5 м. Между овчарней и огородом имеется площадка, вымощенная такой же плиткой.
На участке планируется провести электричество.
Решение. У дома имеется пристройка, значит, пристройка к дому отмечена цифрой 3. Между пристройкой и овчарней расположен пруд, следовательно, пруд отмечен цифрой 5. Курятник расположен рядом с домом, значит, курятник отмечен на плане цифрой 7. Теплица находится на территории огорода, следовательно, теплица отмечена цифрой 1.
Ответ: 5371.
2. Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобится, чтобы выложить все дорожки и площадку между овчарней и огородом?
Решение. Заметим, что, поскольку одна плитка имеет площадь 0,25 м2, для площадки между овчарней и огородом понадобится 108 плиток. Для того чтобы выложить все дорожки, понадобится ещё 20 плиток. Значит, всего необходимо
108 + 20 = 128 плиток.
Теперь найдём, сколько упаковок плитки понадобилось:
Следовательно, чтобы выложить все дорожки и площадку перед верандой понадобится 26 упаковок плитки.
Ответ: 26.
3. Найдите площадь, которую занимают жилой дом и пристройка к нему (в м2).
Решение. Площадь жилого дома равна
м2.
Площадь пристройки равна
м2.
Таким образом, площадь, которую занимают жилой дом и пристройка к нему, равна 25 + 6 = 31 м2.
Ответ: 31.
4. Найдите расстояние от одного угла овчарни до противоположного в метрах.
Решение. Найдём расстояние от одного угла овчарни до противоположного по теореме Пифагора:
м.
Ответ: 5.
5. Хозяин участка планирует провести на участок электричество. Он рассматривает два варианта: купить генератор или продлить до своего дома линию электропередач. Данные о расходе и стоимости топлива (электроэнергии), а также о стоимости покупки (работ) указаны в таблице.
| Стоимость покупки (проведения) | Сред. расход топлива / сред. расход электроэнергии | Стоимость топлива / электро-энергии |
Генератор | 107 200 руб. | 4 л/ч | 50 руб./л |
Линия электропередач | 73 000 руб. | 7 кВт | 34 руб./(кВт · ч ) |
Обдумав оба варианта, хозяин решил купить генератор. Через сколько часов непрерывного использования электроэнергии экономия от использования генератора вместо линии электропередач компенсирует разность в стоимости организации электричества на участке?
Решение. Чтобы провести линию электропередач, понадобится 73 000 руб. Чтобы купить генератор, понадобится 107 200 руб. Разница в стоимости составляет 107 200 − 73 000 = 34 200 руб. Час использования электроэнергии от генератора стоит 50 · 4 = 200 руб. Час использования электроэнергии от линии электропередач стоит 7 · 34 = 238 руб. Разница в стоимости составляет 38 руб. Значит, экономия от использования генератора вместо линии электропередач компенсирует разность в стоимости организации электричества на участке через часов.
Ответ: 900.
6. Вычислите:
Решение. Приведём дроби к общему знаменателю:
Ответ: 5,45.
7. Какое из данных ниже чисел принадлежит отрезку [3; 4]?
1)
2)
3)
4)
Решение. Рассмотрим каждое из чисел:
1.
2.
3.
4.
Таким образом, первое число принадлежит отрезку [3; 4].
Ответ: 1.
8. Упростите выражение и найдите его значение при .
Решение. Упростим выражение:
Найдем значение выражения при :
Ответ: −0,5.
9. Решите уравнение
Решение. Умножим обе части уравнения на 6:
Ответ: 1.
10. У бабушки 10 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение. Количество чашек с синими цветами равно 10 − 7 = 3. Поэтому вероятность того, что бабушка нальёт чай в чашку с синими цветами равна 3 : 10 = 0,3.
Ответ: 0,3.
11. Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А)
Б)
В)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
Решение. Напомним, что если прямая задана уравнением , то: при тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс положителен.
Уравнение задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке 3. Ее график изображен на рисунке 1).
Уравнение задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке 3).
Уравнение задает прямую, которая пересекает ось ординат в точке -3. Ее график изображен на рисунке 2).
Тем самым, искомое соответствие: А — 1, Б — 3, В — 2.
Ответ: 132.
12. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле , где t — длительность поездки, выраженная в минутах . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.
Решение. Подставим время в формулу для расчета стоимости поездки. Имеем:
Ответ: 260.
13. Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств
Решение. Решим систему:
Искомое наименьшее решение равно −6.
Ответ: −6.
14. Клиент взял в банке кредит в размере 50 000 р. на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму он должен вернуть в банк в конце срока, если проценты начисляются ежегодно на текущую сумму долга и весь кредит с процентами возвращается в банк после срока?
Решение. Пусть S0 = 50 000 руб., r = 0,2. Тогда сумма S (в рублях), которую необходимо вернуть, составляет
рублей.
Ответ: 124 416.
15.
В треугольнике ABC известно, что , BM — медиана, . Найдите AM.
Решение. Так как BM — медиана, следовательно,
Ответ: 8
16.
Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.
Решение. Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.
Ответ: 144.
17. Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 60°. Найдите площадь ромба, делённую на .
Решение. Так как все стороны ромба равны, сторона данного ромба равна 10. Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними, поэтому
Ответ: 50.
----------
В открытом банке иррациональный ответ.
18.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение. По рисунку видно, что длина большей диагонали равна 6.
Ответ: 6.
19. Какие из следующих утверждений верны?
1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.
2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.
3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.
Решение. Проверим каждое из утверждений.
1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.
2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.» — неверно, окружности имеют две общие точки.
3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.» — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.
4) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.
Ответ: 34.
20. Решите неравенство
Решение. Последовательно получаем:
Произведение двух множителей меньше нуля тогда и только тогда, когда знаки множителей различны, следовательно:
Ответ: [-1; 1].
21. Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение. Средняя скорость — это расстояние, разделённое на время движения. Первый отрезок пути автомобиль проехал за 500/100 = 5 часов, второй — за 100/50 = 2 часа, третий — за 165/55 = 3 часа. Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути составила
Ответ: 76,5.
22. Постройте график функции Определите, при каких значениях m прямая имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. Раскроем модуль. При имеем:
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины: ордината вершины Точка пересечения графика с осью ординат: Точки пересечения с осью абсцисс найдем из уравнения получим: Дополнительная точка:
При имеем:
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины: ордината вершины Точка пересечения графика с осью ординат: Точки пересечения с осью абсцисс найдем из уравнения получим: Дополнительная точка:
График функции изображен на рисунке.
Прямая имеет с построенным графиком ровно три общие точки при и
Ответ: и
Приведём другой способ построения графика.
Раскроем модуль:
Выделим полный квадрат:
Следовательно, график функции получается из графика функции сдвигом на а график функции — сдвигом на
График функции изображен на рисунке выше.
23. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите длину медианы, проведённой к стороне BC, если угол BAC равен 26°, угол BMC равен 154°, .
Решение. Обозначим точкой середину стороны BC. Продлим MK на свою длину за точку до точки L. Четырёхугольник BLCM — параллелограмм, потому что и . Значит, = 154°, поэтому четырёхугольник ABLC — вписанный. Тогда .
Ответ: 9.
24. Докажите, что у равных треугольников ABC и биссектрисы, проведённые из вершины и , равны.
Решение. Пусть AK и — биссектрисы треугольников ABC и . В треугольниках ABK и соответственно равны стороны AB и , а также углы B и , BAK и . Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Значит, , что и требовалось доказать.
25. Три окружности с центрами и и радиусами 6, 1 и 7 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол
Решение. Из условия касания окружностей находим стороны треугольника
По теореме косинусов
Откуда
Ответ: 120°.
№ задания | ответ |
1 | 5371 |
2 | 26 |
3 | 31 |
4 | 5 |
5 | 900 |
6 | 5,45 |
7 | 1 |
8 | -0,5 |
9 | 1 |
10 | 0,3 |
11 | 132 |
12 | 260 |
13 | -6 |
14 | 124 416 |
15 | 8 |
16 | 144 |
17 | 50 |
18 | 6 |
19 | 34 |
20 | [-1; 1] |
21 | 76,5 |
22 | , и |
23 | 9 |
24 | - |
25 | 120 |