6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс.

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

§6. Синус и косинус.

Тангенс и котангенс.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Определение 1. Если точка числовой окружности соответствует числу , то абсциссу точки называют косинусом числа , а ординату точки называют синусом числа .

если то

Четверть

Четверть

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Точка окружности

Точка окружности

Точка окружности

Точка окружности

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Пример 1. Вычислить и , если:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

а) , значит

б), значит

в) , значит

г) , значит

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Учтём, что ордината точки числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с ординатой и запишем, каким числам они соответствуют:

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Учтём, что абсцисса точки числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с абсциссой и запишем, каким числам они соответствуют:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Пример 4. Решить уравнения:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Найдем на числовой окружности точки с ординатой и запишем, каким числам они соответствуют. Ординату имеют точки и , они соответствуют числам (точка ), (точка ), (точка ), (точка ), (точка ), (точка ) и т.д. Точки и соответствуют числам .

б) Ординату имеет точка числовой окружности, она соответствует числу и всем числам вида .

в) Ординату имеет точка числовой окружности, она соответствует числу и всем числам вида .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Пример 4. Решить уравнения:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Найдем на числовой окружности точки с абсциссой и запишем, каким числам они соответствуют. Абсциссу имеют точки и , они соответствуют числам (точка), (точка ), (точка ), (точка ), (точка ), (точка ) и т.д. Точки и соответствуют числам .

б) Абсциссу имеет точка числовой окружности, она соответствует числу и всем числам вида .

в) Абсциссу имеет точка числовой окружности, она соответствует числу и всем числам вида .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Пример 6. Решить уравнения:

а) ; б) .

Решение. а) Найдём на числовой окружности точки с абсциссой и запишем, каким числам они соответствуют.

Абсциссу имеют точки и , но каким числам они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнение мы пока не можем.

б) Найдём на числовой окружности точки с ординатой и запишем, каким числам они соответствуют.

Ординату имеют точки и , но каким числам они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнение мы пока не можем.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Пример 7. Решить неравенство .

Решение. Учтём, что ордината точки числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с ординатой и запишем, каким числам они соответствуют:

Ответ:

Пример 8. Решить неравенство .

Решение. Учтём, что абсцисса точки числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с абсциссой и запишем, каким числам они соответствуют:

Ответ:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Пример 9. Решить систему неравенств

Решение. Сначала изобразим решения заданной системы неравенств на числовой окружности. Найдём точки, координаты которых удовлетворяют условиям:

Первому неравенству удовлетворяют точки дуги , а второму – точки дуги .

Нас интересуют общие точки обеих дуг – это тоски дуги :

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Пример 10. Какое из двух чисел больше: или ?

Решение. Отметим на числовой окружности точки 1 и 2. Расстояние от точки 1 до точки (по окружности) примерно равно (поскольку ), а расстояние от точки 2 до точки до точки примерно равно . Точка 2 находится ближе к точке , чем точка 1, значит, её ордината больше: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение синуса и косинуса

Пример 11. расположить в порядке возрастания числа .

Решение. Отметим на числовой окружности точки 3, 4, 7.

Заметим, что - положительные числа, а - отрицательное число, - наименьшее из данных чисел.

Число 7 отличается от числа (точка ) примерно на 0,72 (поскольку ), а расстояние (по окружности) от точки до середины первой четверти равно , т.е. примерно 0,785. Значит точка 7 располагается чуть ниже середины первой четверти, а потому её ордината меньше её абсциссы: .

Точка 3 находится по отношению к точке ближе, чем точка 7 по отношению к точке , а потому ордината точки 3 меньше ординаты точки 7: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

свойство синуса и косинуса

Свойство 1. Для любого числа справедливы равенства:

Доказательство. Если числу соответствует точка числовой окружности, то числу соответствует точка , симметричная точке относительно горизонтального диаметра окружности, т.е. симметричная точке относительно оси абсцисс.

У таких точек одна и та же абсцисса: . У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

свойство синуса и косинуса

Свойство 2. Для любого значения справедливы равенства:

Свойство 3. Для любого значения справедливы равенства:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

свойство синуса и косинуса

Свойство 3. Для любого значения справедливы равенства:

Доказательство. Если числу соответствует точка числовой окружности, то числу соответствует точка , симметричная точке относительно центра окружности – начала координат.

У таких точек абсциссы и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение тангенса и котангенса

Определение 2. Отношение синуса числа к косинусу того же числа называют тангенсом числа () . Отношение косинуса числа к синусу того же числа называют котангенсом числа () :

Четверть

Четверть

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение тангенса и котангенса

Пример 12. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а)

б)

в)

г)

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение тангенса и котангенса

Точка окружности

Точка окружности

Точка окружности

Точка окружности

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение тангенса и котангенса

Пример 13. расположить в порядке возрастания числа

Решение. Отметим на числовой окружности точку 1: она расположена между точками и , ближе к точке .

У этой точки абсцисса и ордината положительны, причем абсцисса меньше ординаты: , оба эти числа меньше 1.

Что касается ордината точки 1 больше ординаты точки , а абсцисса точки 1 меньше абсциссы точки : .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

свойства тангенса и котангенса

Свойство 4. Для любого допустимого значения справедливы равенства:

Доказательство. Воспользуемся тем, что :

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

свойства тангенса и котангенса

Свойство 5. Для любого допустимого значения справедливы равенства:

Доказательство. Воспользуемся тем, что

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

свойства тангенса и котангенса

Пример 14. Вычислить:

а) б)

Решение. а) по свойству 4 выполняется равенство так как , то

б) .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

линии тангенсов и котангенсов

На координатной плоскости проведём касательную к числовой окружности в точке и будем считать это касательную числовой прямой, ориентированной так же как ось и с началом в точке .

Пусть числу соответствует точка числовой окружности, принадлежащая первой четверти.

можно трактовать как координату точки на числовой прямой . Та же точка характеризует значение тангенса для точки , диаметрально противоположной точке .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

24

линии тангенсов и котангенсов

Пусть числу соответствует точка числовой окружности, принадлежащая второй четверти.

Длина отрезка - положительное число. Касательную рассматриваем как числовую прямую соответствует отрицательному числу, противоположному длине отрезка . Точка на числовой прямой имеет координату . Точка характеризует значение тангенса для точки , диаметрально противоположной точке .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

линии тангенсов и котангенсов

Если числу соответствует на числовой окружности точка , то проведя прямую , получим в пересечении её с числовой прямой точку , которая имеет на числовой прямой координату . Числовую прямую называют линией тангенсов.

Аналогично вводится линия котангенсов.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

линии тангенсов и котангенсов

Пример 15. Решить уравнение:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Отметим на линии тангенсов точку .

Прямая пересекает числовую окружность в двух точках и , соответствующие тем значениям , для которых .

Точка соответствует значениям , точка - значениям . Эти две серии решений можно объединить: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

линии тангенсов и котангенсов

Пример 15. Решить уравнение:

б) ; в) .

Решение. б) Отметим на линии тангенсов точку .

Прямая пересекает числовую окружность в двух точках и , соответствующие тем значениям , для которых .

Точка соответствует значениям , точка - значениям . Эти две серии решений можно объединить: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

линии тангенсов и котангенсов

Пример 15. Решить уравнение:

в) .

Решение. в) Отметим на линии котангенсов точку .

Прямая пересекает числовую окружность в двух точках и , соответствующие тем значениям , для которых .

Точка соответствует значениям , точка - значениям . Эти две серии решений можно объединить: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

линии тангенсов и котангенсов

Пример 15. Решить неравенство:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Отметим на линии тангенсов точку . Неравенство означает, что нас интересуют на этой прямой точки, лежащие выше точки .

Прямая пересекает числовую окружность точках , точкам, расположенным выше точки , соответствуют точки открытых дуг .

:, . Эти две серии решений можно объединить: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

30

линии тангенсов и котангенсов

Пример 15. Решить неравенство:

б) ; в) .

Решение. б) Отметим на линии тангенсов точку . Неравенство означает, что нас интересуют на этой прямой точки, лежащие ниже точки .

Прямая пересекает числовую окружность точках , точкам, расположенным ниже точки , соответствуют точки открытых дуг .

: , . Эти две серии решений можно объединить: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

линии тангенсов и котангенсов

Пример 15. Решить неравенство:

в) .

Решение. в) Отметим на линии котангенсов точку . Неравенство означает, что нас интересуют на этой прямой точки, лежащие правее точки , и сама точка .

Прямая пересекает числовую окружность точках , точкам, расположенным правее точки , соответствуют точки открытых дуг .

: , . Эти две серии решений можно объединить: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

32